Конструктивное исследование асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами

• Автор: Мунембе Жоао Себастьян Паулу
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 138 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
1. МАТРИЦА КОШИ: ПОСТРОЕНИЕ С ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
§1.1 Постановка задачи
§1.2 Необходимые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений
§1.3 Необходимые сведения о вычислимых объектах
§1.4 Приближенное построение резольвенты интегрального уравнения в пространстве Б" с гарантированной оценкой погрешности
1.4.1 Построение резольвентного ядра Я(,з) для ядра К(1,в)
1.4.2 Оценка погрешности
§1.5 Матрица Коши: построение и оценка погрешности
§1.6 Другой метод построения матрицы Коши
§1.7 Иллюстрирующие примеры
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
§2.1 Постановка задачи
§2.2 Периодичность матрицы Коши
§2.3 Построение и исследование вспомогательной задачи на отрезке [0, Т]
§2.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемое™
§2.5 О периодических решениях системы с запаздыванием
2.5.1 О существовании периодических решений системы с запаздыванием на
полуоси
2.5.2 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на по-
луоси. Матрица Грина
2.5.3 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на оси.
Матрица Грина
2.5.4 Иллюстрирующие примеры
§2.6 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости с помощью аппроксимации параметров
2.6.1 Постановка задачи
2.6.2 Построение и исследование вспомогательной задачи для аппроксими-
рующей системы

2.6.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемое™
2.6.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения
исходной системы и оценка скорости стабилизируемое™
§2.7 Эффективная оценка нормы оператора А В : В"[0, Т]—>Вте[0, Т]
2.7.1 Условие сходимости в П”[0,Т] итераций для вспомогательного урав-
нения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируе-мости
2.7.2 Условие сходимости в Оп[0,Т] итераций для вспомогательного урав-
нения исходной системы и оценка скорости стабилизируемости
2.7.3 Оценка нормы оператора А В : Ц"[0, Т]—>БП[0, Т]
§2.8 Оценка спектрального радиуса для некоторых специальных случаев
2.8.1 Вычисление к-ой степени оператора А + В
2.8.2 Оценка спектрального радиуса для случаев, сводящихся к вычислениям
над матрицами
§2.9 Иллюстрирующие примеры
3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
§3.1 Постановка задачи
§3.2 Построение вспомогательной задачи
§3.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемости
§3.4 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости решений нелинейных систем с помощью аппроксимации параметров
3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Построение и исследование вспомогательной задачи аппроксимирую-
щей системы
3.4.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппрок-
симирующей системы и оценка скорости стабилизируемости
3.4.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения исход-
ной задачи и оценка скорости стабилизируемости
§3.5 Иллюстрирующий пример
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Rn - пространство вещественных векторов а = со/{от, , ап) с нормой
I І I г def і і
ад» = а = max ал;
1<г<га
|| 11х - норма элемента нормированного пространства X;
|| j4||x—>y - норма оператора А : X—>Y ;
А* - оператор, сопряженный к оператору .4;
Rnxn _ пространство вещественных пхп - матриц А — {«гу}?у=1 с нормой 1Л|М{|а,;,-|};
L" = Ln[0,T] - пространство суммируемых функций г : [О,T]—>i?" с нормой ||г||ь» = \z\Ln[0tT]=jz(t)dt
D” = D"[0, Т] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [О,T]—>Rn, таких, что хЄІіп, с нормой ||ж||юп ==|ж(0)| + ||я||ьпі L' = L[0,T] - пространство измеримых и ограниченных в существенном функций л : [О, Т]—*_/?” с нормой ||z||l£, = ||£||ь[о,Г]— vrai sup z(t)| ;
D£, = D£jO, T] - пространство абсолютно непрерывных функций а; : [0,Т]—>Rn, таких, что жЄЬоо, с нормой ЦтЦе» —|щ(0)| + ||т||ь;
С = С [О, Т] - пространство непрерывных функций х : [О, Г]—>Rn с нормой
|Ы|с== max |х(Ч|;
II 11 о<г<т1 v л
DS" = DS"[0, T]{m) = DSn[0, ti, , tmj T} - пространство функций y : [0, T]-+Rn представимых в виде y(t) = y(0) + /z(s)ds + £ X[t„,T(t)Ду(А) ;
функция ГЄІЛ Дy(tq) = y(tq) - y(tq - 0);
Г1, если ТІ
X[t„,T] = 1 л +d+ ті “ характеристическая функция отрезка [tq. 1 j ;
ЄСЛИ J J
определим (mn + n) - вектор
Ay = col{y(Q),Ay(ti)
E - единичная матрица;
І - тождественный оператор;
□ - конец доказательства или замечания.

удовлетворяют неравенствам

Iпри всех s£[0,T], J fi(t)dt < +00. (1.2.4)

В этом случае уравнение (1.2.1) включает в себя следующие классы уравнений:
1. Дифференциальные уравнения с сосредоточенным запаздыванием аргумента
я(*) - Е-Е'(ЗММ*)] = £?(ЧЧе[0,Г], (1.2.5)

я(0 = ¥>(0> если *[0,Т],
в предположениях что столбцы nxn-матрицы Pj принадлежат L”,
hi : [О, Г]—>Д1, (hi(t)
Е Pi(t)ip {{t) = Ln. Для уравнения (1.2.5) ядро K(t,s) имеет вид

(М) = Е лу(М)Д(Ч>

где Xh{ {t, s) - характеристическая функция множества
{(*,«)е[0,Т] : 0 2. Уравнения с распределенным запаздыванием

x(t) - f dsT(t, s)x(s) = /(<), ге[0,Т],

где элементы ry(i,s) nxn-матрицы T(t,s) измеримы на множестве 0 Var [rv(i,s)] ptJEL1
s6[0,f]
и T(t,t) — 0.
В случае представления (1.2.3) оператор С) : Ln—обратим, и обратный оператор Q-1 имеет вид

(Q~lz)(t) = z(it) + J R(t,s)z(s)ds, (1.2.6)

где i?(/, s) - резольвента ядра K(t, s). Обратимость оператора <3 является критерием однозначной разрешимости задачи Коши
Сх = /, х(0) = а (1.2.7)