Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка

• Автор: Чуешев, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 183 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения
Введение
ГЛАВА 1. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка

§ 1. Вспомогательные результаты

§ 2. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора четного порядка
§ 3. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора нечетного порядка
ГЛАВА 2. Оценки резольвенты для обыкновенного дифференциального оператора смешанного типа

§ 1. Вспомогательные результаты

§ 2. Теорема существования и единственности для обыкновенного дифференциального оператора нечетного порядка

§ 3. Теорема о гладкости

§ 4. Теорема существования и единственности для обыкновенного дифференциального оператора четного порядка
§ 5. Теорема о гладкости
ГЛАВА 3. Линейное уравнение смешанного типа высокого порядка
§ 1. Определения и предположения
§ 2. Вспомогательные результаты
§ 3. Теоремы существования и единственности для уравнения нечетного
порядка
§ 4. Теоремы существования и единственности для уравнения четного
порядка
ГЛАВА 4. Нелинейное уравнение смешанного типа нечетного порядка
§ 1. Определения и предположения
§ 2. Вспомогательные результаты
§ 3. Теорема существования для нелинейного уравнения смешанного типа нечетного порядка
Список литературы

Обозначения
Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. В частности,
N - множество натуральных чисел,
Ъ - множество целых чисел,
К - множество действительных чисел,
С - множество комплексных чисел,
К" - п - мерное Евклидово пространство, х = (жі, Х2,хп) Є 1Г - точка в пространстве R”,

< х, у >— ХіУі - скалярное произведение в Мт,
. і=і
DX = DTDT---Dn”>Dk = - 1, 2,п; |а| = ац + а2 + ••• + <*„,
[х] - целая часть числа жЄІ, mesS - мера множества S,
SiS'2 - все элементы множества Si, не принадлежащие S2,
S - замыкание множества S,
I - тождественный оператор,
Dl - область определения оператора L,
Pi - резольвентное множество оператора L,
(и, v)e - скалярное произведение в пространстве Е,
|| • Ця - норма в пространстве Е,
|| • Цв-кБ ~ норма оператора, действующего из Е в Е,
C^fO, 1] - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций к .
с нормой IIиIIс*[0,1] = Е SUP
i=О і€[0,1]
(и, v)i2(S) — f uvdS - скалярное произведение в гильбертовом простран-5_
стве L2(S), где v - комплексное сопряженное от функции V,
IMIlp(S) = (/ |'UIP<^*SI)? ~ норма в пространстве Lp(S),

IMwSK) = (I Е D ®u2dS)i - норма в пространстве Соболева W^S), 2 S а<к
С00 (S) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
Через с, сі,... обозначаем различные постоянные, не зависящие от функций, участвующих в неравенствах.
Введение Постановка задачи
Пусть П - ограниченная область в К" с границей дО, класса С00. Изучаются краевые задачи для уравнения вида
Аи + Ви — /(£, х), £ € (0,1), х Е (1)
Здесь А - обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка I > 2 по переменной I, В = В$ + В,Во~ равномерно эллиптический оператор порядка 2и в £7, оператор В является оператором, подчиненным по отношению к А, В.
Особенностью постановки задачи является то, что старший коэффициент в операторе А может менять знак, именно поэтому уравнение (1) можно назвать уравнением смешанного типа. Если старший коэффициент в операторе А определенного знака (либо положительный, либо отрицательный), то результат по вопросу о разрешимости является классическим. Если он меняет знак в этой области, то такая задача мало изучена.
Много уравнений третьего порядка вида (1) возникает в теории упругости материалов с памятью, в нелинейно-вязкоупругих средах, при моделировании процессов влагопереноса, при изучении гидродинамики "неньютоновских" жидкостей [55, 58]. Уравнения более высокого порядка можно найти в линейных задачах нестационарных внутренних волн [18-20] (например, уравнение динамики сжимаемой, экспоненциально стратифицированной жидкости), в линейных задачах стационарных движений идеального газа [62, 67, 104] и т. д.
В класс уравнений (1) входят линейные и нелинейные уравнения смешанного типа, смешанно-составного типа, а также квазиэллиптические уравнения специального вида.
Подобные уравнения изучались в работах В. Н. Врагова [14-17],
И. Е. Егорова [39-45], С. Г. Пяткова [80-83], В. Е. Федорова [101, 103] и некоторых других авторов [1-3, 13, 52, 53, 57, 65, 73-75, 79, 87-91, 96, 97, 106, 119]. В этих работах исследовались аналоги задачи Дирихле для уравнения подобного типа. При этом применялись: метод Галеркина, метод "е—регуляризации" и различные функциональные методы.
В данной работе мы рассматриваем довольно общий класс граничных условий при £ = 0,£ = 1ина боковой поверхности цилиндра. В качестве основного метода используем некоторые обобщения абстрактных теорем Гривара [25-28, 32] и Ю. Дубинского [37]. В отличие от этих авторов, нам

По заданным матрицам Р^1 (1,®),Бо(1, ж) определим матрицу Р(1, х). Так как (1.2.14) содержит т равенств, а в точке £ = 1 краевых условий не более ш, то величины аЦ, £*2т-1-£,2т-1-£ не могут одновременно обращаться в нуль (иначе краевых условий будет больше ш). Зафиксируем произвольное целое £о от 0 до т — 1. Если а^0 = 0 для любого С = £о> ...,т — 1, то положим
для любого г) — 0,1,2т — 1 — £о— 1- Если = 1, а^0>Г1 = 0 для любого
г) = 0,1,..., £о — 1) то положим
для любого С = 2т — 1 — £о,..., 2т — 1. В частности, мы определили все диагональные элементы матрицы Р(1,ж).
Рассмотрим (1.2.13) при р — 1,2,..., т — 1, £ = 0,1,..., т — 1 — р. Возможны следующие случаи:
1) — 0 для любого С — т — 1;
2) = 1, = 0 для любого р = 0,1,..., £ — 1;
1°) ат+с,2т-1-£-р = о для любого С = ГП - 1 - С - Р, т - 1;
2 ) СЧ2т— 1— £-р,2т-1— £—р — 1> а2т-1-£—р,г] — О
для любого р = 0,1,2т — 1 — £ — р— 1.
Если для некоторых ро — 1, 2,..., т — 1, £о — 0,1,..., т — 1 — ро выполняется случай 2), 2°)(во всех остальных случаях получаем тождества), тогда
а2т- 1-£о,2т-1-£0 — 1> а2т-1-£о,г1 ~~ ^
(1.2.15)
аС,2т-1-?о =
(1.2.16)