Об аттракторах волнового уравнения, связанного с нелинейными осцилляторами

• Автор: Егоров, Юрий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с. : ил.

1 Взаимодействие струны с одним осциллятором
1.1 Постановка задачи
1.2 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой
массы
1.3 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором нулевой
массы
1.4 Точечный аттрактор
1.5 Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке
1.6 Необходимое условие сходимости каждой траектории к точке
2 Взаимодействие струны с двумя осцилляторами
2.1 Постановка задачи
2.2 Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2)
2.3 Оценки функций у,(<). Локальная стабилизация осцилляторов
2.4 Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек
2.5 Сходимость траекторий к стационарным точкам
Литература

Работа посвящена развитию теории аттракторов бесконечномерных гамильтоновых систем. Впервые теория аттракторов для бесконечномерных динамических систем возникла в рамках теории диссипативных уравнений в частных производных: нелинейных параболических уравнений типа реакции-диффузии, системы Навье-Стокса и волновых уравнений с трением. Существование и свойства аттрактора для таких систем были подробно изучены в работах Р. Темама [13], A.B. Бабина и М.И. Вишика [1] и других работах. Для недиссипативных волновых уравнений первые результаты по долговременной асимптотике были получены в линейной и нелинейной теории рассеяния. П. Лаке, Р. Филлипс [6], С. Моравец, В. Штраусс [12, 11] и другие доказали убывание локальной энергии при соответствующих условиях (выпуклость границы, неловушечность и т.д.). Эти результаты означают сходимость всех решений конечной энергии к нулевому решению в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Иными словами, аттрактор этих систем состоит только из одной точки 0 фазового пространства.
Для уравнений без диссипации существование нетривиальных аттракторов впервые было обнаружено в работах А.И. Комеча [3] - [5] для нелинейных систем Ламба. По-видимому, уравнения, рассмотренные в этих работах, появились в статье Г. Ламба [10] при изучении следующей механической системы. Бесконечная струна с постоянной
линейной плотностью ц и натяжением Т соединена с материальной точкой (осциллятором) массы т (рис. 1). На осциллятор действует сила Р(у), перпендикулярная струне. Здесь у обозначает смещение осциллятора. Колебания струны происходят в одной плоскости, которой параллельна сила .Г(у).

Малые колебания системы струна-осциллятор математически описываются двумя уравнениями: волновым уравнением для струны и уравнением Ньютона для осциллятора. В своей работе Г. Ламб рассмотрел линейный закон Гука ^(у) = — ку. В этом случае всякое решение, обладающее конечной энергией, на каждом ограниченном интервале сходится равномерно к нулевому решению, которое является единственным равновесным состоянием системы.
А.И. Комеч [3, 4] исследовал долговременную асимптотику решений системы Ламба для общей нелинейной функции F(y), а также системы

справа вместе с производной и
Л+і(*і) = ^ I &i(*0
Цр(^) _ ^о(ж.) 2 2а '

Из (2.13), (2.14) и (2.17) при т = 0 следует, что пределы слева принимают те же значения:
Аналогично устанавливается непрерывность д, и д[ в точке ж*. Соотношения (2.19) доказаны.
Теперь из (2.7) и (2.19) вытекает, что ограничения на Д; функций u'(-,to) и ж(-,го) принадлежат классу Я^Д*) С C(Aî). Кроме того, tt(-,fo), v(‘>*o) непрерывны в точках ж*, i = 1,2. Это следует из (2.14) и (2.15). Поэтому it(-, fo) G C(R) и ж(-,^о) G #Х0^)> откуда (u(-,t0),v(-,t0)) € Я2.
Сдвиг по времени t! = t — to не меняет уравнений (2.1) и (2.2). По доказанному решение продолжается на полосу П^+(//о и такое продолжение единственно. При ЭТОМ для ВСЯКОГО f е (<о, Ф + l/а) имеем (u(-,t),v(-,t)) £ Е2. По индукции решение продолжается с сохранением единственности на всю полуплоскость t > 0 и доказывается, аналогично (2.19), что fi £ H2oc(-oo,Xi), gi £ Яг2с(z,-_i, +оо).
Осуществив такое же построение при t < 0, найдем (единственное) решение и(ж, t) в нижней полуплоскости, а также получим, что /,(■) €
HL(xi-u +°°). л(0 G HL{~o°^Xi).
3. Остается показать, что и £ £2. Из предыдущего /»(•)>&(') G а это означает, согласно (2.7), что д|д,хк £ Я2,С(Д; х М). Непрерывность функции и при ж = Жj предусмотрена построением,

fi+i{xi~) = Уі{0+) - fifi+i(^+) = ^ J v0(£,)dÇ + d,