Проблема разрешимости для (p,q)-нелинейных уравнений

• Автор: Нежинская, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 142 с.

1 Задача Дирихле

1. Постановка задачи. Формулировка основного результата

2. Регуляризация задачи. Априорные оценки

3. Оценка модуля градиента в строго внутренних подобластях

4. Оценка модуля градиента на границе

5. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях

6. Доказательство основного результата. Единственность решения

7. Некоторые обобщения

8. Параболическая задача

2 Задача Неймана

:1. Постановка задачи. Формулировка основного результата

2. Регуляризация. Априорные оценки
3. Оценка максимума модуля градиента решения на границе области
4. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях
5. Доказательство основного результата. Теорема единственности
6. Некоторые обобщения
Список литературы

В диссертации изучается проблема разрешимости краевых задач для класса неравномерно эллиптических уравнений с дивергентной главной частью. Точнее, рассматриваются уравнения вида
п й
— аЛх,и,их) = Ь(х,и,их), хе£1, (0.1)
ах*

где I 6 О С 1", я > 2, и — скалярная функция, их = (иХ1,... ,иХп), а функции аг-(ж,ц,£) и Ь(х,и,£) — достаточно гладкие функции своих аргументов.
Основным предположением является условие эллиптичности в форме

^ (гк, и, е)Л,Ау > ^ (1 + Ц|)р-2 |Л|2, АеК (0.2)

X 1% (ж’ “»01 < V (! + 1^1)9"2» (°-3) ;
0 =1 ; ,
1 < Р < Ъ (0-4)
где ~ положительные постоянные, х Е П, и 6 М, £ € Мп. Разность д — р будем называть порядком неравномерности уравнения (0.1).
Кроме того, считаем выполненными некоторые ограничения на поведение функций а[х., сци и Ь по аргументу £.
При условии р = я, р > 1, уравнение (0.1) является равномерно эллиптическим. Теория обобщенной и классической разрешимости краевых задач для

таких уравнений сформировалась к концу 60-х годов XX века. Основные результаты этой теории достаточно полно изложены в монографиях С.В.Моггеу [33], G.Gilbarg’a, N.Trudinger’a [10] и О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [20].
Формирование теории разрешимости для квазилинейных уравнений началось с развития теории разрешимости линейных уравнений и исследования регулярности их решений. Так в 30-е годы J.Schauder’oM была доказана теорема о существовании решений в пространстве Cl+a, I > 2, первой краевой задачи для линейного уравнения с гладкими коэффициентами. Аналогичный результат для других краевых задач был получен к 1957 году С.Miranda и R.Fiorenza.
Понятие обобщенного решения для различных типов уравнений начало формироваться еще в 20-30-е годы XX века в работах G.C.Evans’a, N.Wiener’a, С.В.Моггеу, А.А.Фридмана, K.O.Friedrichs’a, С.Л.Соболева, J.Leray, Н.М.Гюнтера и других математиков. Этими авторами был предложен ряд способов.определения обобщенных решений и доказаны первые результаты об их существовании. Анализируя все эти подходы, в конце 40-х годов О.А.Ладыженской было сформулировано ставшее впоследствии классическим определение обобщенного решения краевых и начально-краевых задач для1 различных типов уравнений с помощью интегральных тождеств.
В начале 50-х годов K.O.Friedrichs’oM, F.E.Browder’oM, L.Nirenberg’oM и другими математиками были установлены теоремы о существовании у обобщенных решений соболевских производных высоких порядков. В конце 50-х годов E.De Giorgi и J.Nash независимо друг от друга доказали теорему о ^’“-регулярности обобщенных решений линейных дивергентных уравнений простейшего вида (без предположения о гладкости матрицы старших коэффициентов). Спустя несколько лет в работах С.В.Моггеу, G.Stampacchia,

и у) Vду >}і^<п ^ У ^ "^1
В локальных координатах задача (1.16), (1.17) принимает следующий вид:
2-77А){уУу) = °(і/)» 2/ Є В?(0), (1.91)
і=і йуі
Vе{у) = 0, у Є Г. (1.92)
Легко видеть, что функции Л^(у, £) удовлетворяют условиям

Е4е,(^)^>Ці + І£]Г2М2. Л€К” (1.93)
і,к
Х)і4&(!/,а|<Д(і + |5|),_2, (1.94)

х; і^»(».е)і < д. (і+кі)*-1- (і-95)
І,к
Здесь постоянные щ /7 и Ді определяются параметрами задачи р, у, п, сг и константами и,р,рі из условий (1.18) - (1.20).
Обратимся к утверждению теоремы 1.5. Из оценки (1.68) следует оценка модуля градиента функции Vе на границе Г. Точнее, справедлива следующая лемма.
Лемма 1.5. Если выполнены условия (1.13) и (1.12), то существует такое не зависящее от є число Сд, что справедлива оценка:
тах|г;£| < Сд (1.96)
ует 1 2/1 “
с постоянной Сд, зависящей от С2 - характеристик поверхности дО, и постоянной Се из оценки (1.68).
Опираясь на результат этой леммы, докажем следующее утверждение.
Теорема 1.6. Пусть выполнены предполоо/сения леммы 1.5. Тогда существует такая положительная постоянная Сю, не зависящая от є,