Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений

• Автор: Ахметов, Денис Робертович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
1 Об изоморфизме, порождаемом линейным параболическим уравнением
1.1 Задача Коши для параболического уравнения с постоянными коэффициентами
1.2 Задача Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами
1.3 Критерий изоморфизма для параболического оператора с переменными коэффициентами
1.4 Анализ условий Зигмунда
2 О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши
2.1 Критерий классической разрешимости задачи Коши
в классе уравнений
2.2 Необходимое условие существования классического решения

Введение
В общей теории дифференциальных уравнений с частными производными особое место занимает проблема поиска условий классической разрешимости различных начально-краевых задач для основных уравнений математической физики. Даже в самых простых случаях эта проблема до сих пор остается актуальной. Рассмотрим, например, задачу Коши для уравнения теплопроводности
Щ = ихх + /(жД) при > 0, и(х,0) = <р(х). (0.1)
Напомним, что классическим решением этой задачи называется непрерывная при £ > 0 функция и(х,Ь), имеющая при Ь > 0 непрерывные производные щ, ихх и удовлетворяющая уравнениям (0.1).
Хорошо известно, что задача Коши (0.1), вообще говоря, не имеет классического решения, если функция f(x,t) только лишь непрерывна и не подчинена каким-нибудь дополнительным ограничениям. Уже в случае, когда правая часть не зависит от переменной х, в классе ограниченных функций м(жД) задача (0.1) с нулевыми начальными данными эквивалентна обыкновенному дифференциальному уравнению (см. [1])
и'{р) = /(£) при I > 0, п(0) = 0, (0.2)
необходимым и достаточным условием классической разрешимости которого является непрерывность функции f(t) при £ > 0 и
сходимость несобственного интеграла Римана

J f(t) dt < оо.

Однако никаких эффективных необходимых и достаточных условий сходимости несобственных интегралов не существует.
Естественно, что для задачи (0.1) дело обстоит еще сложнее. В частности, в рассмотренном случае обыкновенного дифференциального уравнения (0.2) непрерывности и ограниченности правой части f(t) достаточно для существования классического решения, а в случае задачи (0.1) это не так. Имеется пример равномерно непрерывной ограниченной функции fix, t), для которой не существует классического решения задачи (0.1) (см. [2]).
В некоторых случаях можно сформулировать необходимые и достаточные условия классической разрешимости задачи (0.1) в терминах свойств интеграла, представляющего собой свертку правой части с фундаментальным решением уравнения. Такие условия оказываются трудно проверяемыми, но тем не менее представляются полезными, так как они проясняют роль интеграла Дюамеля в проблеме построения классических решений. Например, справедливо следующее утверждение.
Пусть функция f(x,t) бесконечно дифференцируема в полосе {х £ М, t £ (0,Т]} и для каждого е £ (0,Т) удовлетворяет условию
max |/0М)| < С{е)еЩх]
где М > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от е. Для того чтобы существовало ограниченное классическое решение задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное Tq, при ко-

Доказательство. Заметим, что щ(од) = мм(ОД) для всех £ > 0. Кроме того, /(ж,£) = 0 при х < 0 и монотонно возрастает при х > 0 для любого фиксированного £ > 0, поэтому в силу (1.4) и свойств произвольного модуля непрерывности имеем
Щ (0
О оо

ТТ .1 К
У<2 ~ 6 у2/(2п - ту,т) (1у(1т

7Г У К

У2 ~ К ) е у2?(п - ту, т) йуйт

К ] £„ - т

( 1/у
Чл/5—1)/2
2 1 2сД2Д/„ -ту-(у/2 - 1 )л/ - г)
У -2 Iе

» -5)е

1 /%/5

2 Л -у>и(у/гп - т)
71 I О

у - к е

('1ус1т
(л/2—1)/2
-1)/2
Г 2

(*п - г)г

10Д2т У (£„ - г)т - юД2тг£п
0/2 О
= НдоЛ//2МДЛ) > с(ДД2)-КО).