Моментные функции решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами

• Автор: Строева, Любовь Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 120 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Обзор понятий, используемых в работе

§1.1. Обобщенные функции. Определение. Основные свойства

§1.2. 5-функция

§1.3. Свертка обобщенных функций

§1.4. Преобразование Фурье

§1.5. Вариационная производная

§1.6. Некоторые сведения из теории вероятностей

§1.7. Уравнение гидродинамики

Глава 2. Линейное уравнение переноса

§2.1. Постановка задачи
§2.2. Нахождение решения задачи с вариационной производной
2.2.1. Решение уравнения с вариационной производной первого
порядка
2.2.2. Решение уравнения второго порядка с вариационной
производной
§2.3. Математическое ожидание решения задачи (2.1)-(2.2)
2.3.1. Переход к детерминированной задаче
2.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения
задачи (2.1 )-(2.2)
§2.4. Вторая моментная функция решения задачи (2.1)-(2.2)
2.4.1. Нахождение решения вспомогательной задачи
2.4.2. Вывод формулы для второй моментной функции решения
задачи (2.1)-(2.2)
§2.5. Дисперсионная функция решения задачи (2.1)-(2.2.)
§2.6. Третья моментная функция решения задачи (2.1)-(2.2.)
2.6.1. Нахождение решения вспомогательной задачи
2.6.2. Вывод формулы для третьей моментной функции решения
задачи (2.1)-(2.2)
§2.7. Частные случаи
2.7.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1)-(2.2)
2.7.1.1. в - гауссовский случайный процесс
2.7.1.2. б - пуассоновский случайный процесс
2.7.1.3. е - равномерный случайный процесс
2.7.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1 )-(2.2).
Случай гауссовского случайного процесса г
Глава 3. Линейное уравнение переноса в случае двумерного фазового
пространства
§3.1. Постановка задачи
§3.2. Нахождение решения задачи с вариационной производной
3.2.1. Линейное уравнение с вариационными производными
первого порядка
3.2.2. Линейное уравнение с вариационными производными
второго порядка
§3.3. Математическое ожидание решения задачи (3.1)-(3.2)
3.3.1. Переход к детерминированной задаче
3.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения
задачи (3.1)-(3.2)
§3.4. Вторая моментная функция решения задачи (3.1 )-(3.2)
3.4.1. Нахождение решения вспомогательной задачи
3.4.2. Вывод формулы для второй моментной функции
§3.5. Случай гауссовских случайных процессов 8] и
3.5.1. Математическое ожидание
3.5.2. Вторая моментная функция
Г лава 4. Моментной функции п-го порядка решения уравнения
переноса для случая одномерного фазового пространства
§4.1. Случай для характеристического функционала случайных
процессов б и £
4.1.1. Переход к детерминированной задаче
4.1.2. Нахождение п-ой моментной функции решения задачи
(2.1)-(2.2)
§4.2. Случай для характеристического функционала случайных
процессов е и и
4.2.1. Постановка задачи
4.2.2. Уравнение для коэффициентов разложения
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Физические, экономические, химические, биологические процессы в большинстве случаев подвержены влиянию случайных факторов. Обычно изучают детерминированные математические модели таких процессов, заменяя случайные коэффициенты их математическими ожиданиями.
Ранее подобные задачи были отражены в работах Вл.Г.Задорожнего, Т.И.Смагиной, Вал.Г. Задорожнего, А.В.Фурсикова.
В списке использованных источников приведены работы, посвященные уравнениям с вариационными производными и методам нахождения моментных функций решений дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами [11, 14, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 36, 46].
Для практики важно знать основные характеристики случайного процесса - математическое ожидание и дисперсионную функцию, а если возможно, то и старшие моментные функции. Это и определяет актуальность выбранной темы.
В диссертационном исследовании разработана новая методика нахождения моментных функций решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которых являются случайными процессами. Получены новые результаты по решению дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. Получены формулы для нахождения математического ожидания, дисперсионной функции и рекуррентные формулы для нахождения моментных функций более высокого порядка решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами. Эти формулы не используют процедуру континуального интегрирования.
В данной работе рассматриваются следующие задачи:
1. Нахождение решений задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.
2. Сведение задачи Коши дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которой являются случайными процессами, к детерминированным дифференциальным уравнениям. Нахождение решения детерминированных уравнений.

ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА §2.1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка, коэффициенты которого являются случайными процессами

и(<о, х) = «о (ж), (2.2)
где £ 6 Т — [#о, <1] С Н, ж € И, в : Т —» И, / : Т х К —> И, но : И —» И -случайные процессы. е{р) - коэффициент переноса [10, стр.469].
Предполагается, что ей/ независимы с щ и заданы характеристическим функционалом [36, стр. 19]
¥>(*>(•), ю(0) = Ме(гф), ш(-)), (2.3)

е(«(-),«>(■)) = ехР(* взМ*1> ваМвЛ) (2-4)
и М - математическое ожидание по функции распределения случайных процессов е, /. 5,51 £ Д 52 £ К, н(-) £ ГфТ), ш(-) £ ГДТ х И), Ь{Т) - пространство суммируемых на отрезке Т функций, а ГфТ х В,) - пространство суммируемых функций на множестве Т х И.
Для приложений важно знать моментные функции решения задачи
(2.1)-(2.2). В данной главе найдены формулы для первой, второй, третьей моментных функций и дисперсионной функции. Рассмотрены частные случаи, когда случайные процессы имеют нормальное, равномерное распределения и распределение Пуассона.
Для решения поставленной задачи нам потребуется решение уравнения с вариационными производными.