Обобщение метода регуляризации на некоторые резонансные задачи

• Автор: Стрижков, Виктор Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 c. : ил

Глава I. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных нелинейных задач

в резонансном случае

§ I. Формализм метода регуляризации

§ 2. Разрешимость итерационных задач

§ 3. Оценка остаточного члена

§ 4. Теорема о предельном переходе

Глава 2. Регуляризованные асимптотические решения

сингулярно возмущенных сильно нелинейных задач

с быстрыми и медленными переменными

§ I. Регуляризация и формализм исходной задачи

§ 2. Обоснование разрешимости итерационных задач

§ 3. Обоснование асимптотической сходимости
§ 4. Теорема о цредельном переходе
Глава 3. Регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи с быстрыми и медленными переменными
§ I. Регуляризация краевой задачи
§ 2. Вопросы разрешимости итерационных задач
§ 3. Асимптотический характер решения
Литература
Интенсивное развитие современной науки приводит к существенному усложнению математических моделей реальных процессов. Исследование этих процессов требует учета многочисленных факторов, влияющих на поведение изучаемых систем, описываемых сложными системами дифференциальных уравнений. Многие задачи электротехники, теории гироскопов, химической кинетики, теории автоматического регулирования и других областей науки приводят к моделям, содержащим качественно разные группы движений. В таких случаях, как правило, выделяются уравнения с малыми множителями при старших производных (уравнения такого типа называются сингулярно возмущенными) а компоненты вектора-решения разделяются на быстрые и медленные. При численном интегрировании сингулярно возмущенных систем возникают трудности, обусловленные их жесткостью (см., например, [81]). Для исследования таких уравнений наряду с численными методами целесообразно использовать асимптотические методы. В частности, использование асимптотических методов позволяет разрабатывать более эффективные алгоритмы численного интегрирования жестких систем.
Внимание математиков к проблемам сингулярно возмущенных уравнений было привлечено известными работами А.Н. Тихонова (см., например, [б5,6б]). Сформулированная и доказанная им теорема о предельном переходе в системах уравнений, содержащих быстрые и медленные переменные, сыграла исключительно важную роль как в теории сингулярных возмущений, так и цри решении большого круга прикладных задач. В дальнейшем задачи указанного типа изучались многими авторами. Для сингулярно возмущенных задач, описываемых линейными урав-

нениями в частных производных, был разработан метод Вишика-Люстер-ника (см. [ю]). Идеи этого метода развивались и обобщались в различных направлениях. На его основе В.А. Треногиным, В.Ф. Бутузовым и другими исследователями; были получены глубокие и важные результаты (см., например, [4,5,67,68]). В.А. Треногин исследовал вопросы асимптотического интегрирования смешанных краевых задач для квазилинейных параболических и гиперболических уравнений (частные виды таких уравнений встречаются в гидродинамике). В.Ф* Бутузов исследовал аналогичные вопросы, но для задач с негладкой границей. Он впервые ввел угловые погранфункции и построил равномерные асимптотические решения таких задач. Линейные сингулярно возмущенные задачи в банаховых пространствах изучались Ю.Л, Далецким и М.Г. Крейном в [14]. Результаты этих авторов являются обобщениями известных результатов С.Ф. Фещенко и Н.И. Шкиля [79].
Определенные трудности возникают при асимптотическом интегрировании нелинейных сингулярно возмущенных задач. Принципиально важные результаты в этом направлении были получены с помощью метода пограничных функций, разработанного А.Б. Васильевой и ее учениками (см., нацример, [8,9]) на основе результатов А.Н. Тихонова, а также с помощью метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митрополь-ского (см. [з,4б]). Определяющим моментом в выборе метода при решении той или иной сингулярно возмущенной задачи является расположение спектра некоторого предельного оператора на комплексной плоскости. Если все точки спектра этого оператора лежат на мнимой оси, то эффективным является применение метода усреднения; если же на мнимой оси нет точек спектра предельного оператора, то целесообразным является применение метода пограничных функций. Метод усреднения и метод пограничных функций А. Б. Васильевой позволили изучить

#с. ± II е-сг,
где СіуСг - постоянные, не зависящие от £ . Лемма доказана.
Для доказательства теоремы об оценке остаточного члена нам потребуется следующий результат о разрешимости операторного уравнения с гО
ТЕОРЕМА 1.7. Пусть оператор действует из банахова
пространства в банахово пространство ^ 2 и имеет в некотором шаре [ Н к - ало Н 6 х] Две непрерывные производные. Пусть также существует оператор = [_ р^(-ц0)и выполнены условия
І) 1117 II ^М4г'к; 2) II {=>(м0)11 (гп>2к)> 3) Ц^''(гоП< Н^.
Тогда уравнение си) - 0 имеет при достаточно малых £>0 решение и *<=77} і , удовлетворяющее неравенству
II И *- 11^* С £Г0_|<
Доказательство этой теоремы можно найти в работе [к].
Теперь можно сформулировать и доказать теорему об оценке остаточного члена.
ТЕОРЕМА 1.8. Пусть выполнены условия 1°,2°,3°, и все итерационные задачи (І.ІІ)-(І.І9) разрешимы в пространстве ’V' х х". Тогда задача (І.I) имеет решение Сгссе^іусз^г)) . причем справедливы следующие неравенства:
» еис>£> - ПССо,а] * ^ ^ (І.ХІІ)
Н а<=«-£) - а£,м «=> »С[от 4 сч£7 (і.И2)
где постоянные С5, Сц не зависят от £
Доказательство. Ради удобства введем следующее обозначение: