Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем

• Автор: Хлюстов, Кирилл Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Оглавление
Введение.

1 Задача Л. Ф. Зеликиной.

1.1 Теорема о структуре оптимального синтеза

1.2 Метод дифференциальных форм

1.3 Эквивалентность условий оптимальности

2 Обобщение.

2.1 Инвариантная форма условий оптимальности

2.2 Метод дифференциальных форм для общей задачи

2.3 Теорема о неоптимальных переключениях

2.4 Теорема о структуре оптимального синтеза

3 Доказательство теоремы.
3.1 Выбор системы координат
3.2 Построение синтеза
3.3 Универсальность особых многообразий
3.4 Доказательство оптимальности синтеза
3.5 Эквивалентность условий оптимальности
4 Пример.

Введение
Задача построения оптимального синтеза является одной из основных в теории оптимального управления. В простейшем случае синтез для управляемой системы вида
1 = /(1,и),и€ и,х € Мп
можно определить как управление и = и(х), построенное по принципу обратной связи, и совокупность решений автономной системы дифференциальных уравнений
х = ф{х,и[х)). (1)
Однако, для многих задач часто оказывается, что правая часть системы (1) может не быть не только липшицевой, но даже и просто непрерывной по фазовой переменной х. Как следствие, классическое определение решения системы дифференциальных уравнений здесь не применимо. Естественным способом преодолеть эту проблему является использование какого-либо определения решения для системы с разрывной правой частью. Для примера рассмотрим два таких определения.
Определение 1 Абсолютно непрерывная функция х(Ь) называется решением системы дифференциальных уравнений (1) на интервале ^ €: (£оДг)> если соотношение
Н*) =/(*(*), «(з(£)))
выполнено для почти всех 4 6 (£оДО-

Определение 2 [54] Абсолютно непрерывная функция х(Ф) называется решением системы дифференциальных уравнений (1) на интервале £ € (£о, Ь), если она удовлетворяет дифференциальному включению
X(4) £ Р(ж:(^))
почти всюду на интервале (^оДг)- Р(х) - многозначная функция, которая в точках непрерывности функции и{х) совпадает с ф(х,и[х)), а в точках её разрыва является наименьшим выпуклым множеством, содержащим все предельные значения функции
ф{х*,и(х*)),
при х* —» х и х* не принадлежит множеству точек разрыва функции и{х).
Выбор того или иного определения решения обычно зависит от специфики решаемой задачи, хотя в общем случае можно воспользоваться Определением 1, как наиболее универсальным. В данной работе используется Определение 2, поскольку оно является наиболее удобным для рассматриваемого класса задач.
Следует заметить, что часто независимо от выбранного определения возникает другая сложность, связанная с неединственностью решения автономной системы (1). Другими словами, только лишь функции управления, построенной по принципу обратной связи, не достаточно для полного определения синтеза - требуется дополнительно выделить единственную траекторию для каждого начального значения.
Таким образом, синтез - это пара, состоящая из управления, построенного по принципу обратной связи, и некоторого подмножества траекторий системы дифференциальных уравнений (1), обладающих свойством правосторонней единственности. Иногда синтез определяется сразу в виде множества пар управление-траектория, построенных для каждого начального значения из исследуемой области в фазовом пространстве и не обязательно связанных между собой через систему вида (1) (см. [23], [25]).
В настоящее время наиболее удобным средством построения оптимального управления является Принцип максимума Понтрягина. В первоначальной

Глава
Обобщение.
2.1 Инвариантная форма условий оптимальности
В последнем пункте предыдущей главы была доказана теорема, устанавливающая эквивалентность условий на знаки миноров матриц (1.2), приведённых в Теореме 1.1 и достаточных условий оптимальности особых траекторий из Теоремы 1.3. Установленная взаимосвязь позволяет записать условия Теоремы
1.1 в терминах дифференциальной формы
построенной для задачи (1.1).
Поскольку функция С2(х) является интегрирующим множителем для ограничения соь дифференциальной формы ш на произвольную грань Ь{х) первого ортанта пространства Мп, то, согласно утверждению Теоремы 1.3, ограничение этой функции на пересечение поверхности уровня формы ии слоя интегрального слоения распределения плоскостей, натянутых на Ь[х) достигает своего максимума в точках оптимальной траектории. В то же время, точка максимума функции <50^) является точкой минимума функции (функция <2(л) > О всюду в исследуемой области).
Рассмотрим произвольный набор индексов I = {ц, и рассмотрим грань
Ь/(х), натянутую на векторы е*, г € /, где е* - г'-тый базисный орт пространства