Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа

• Автор: Евдокимов, Сергей Маратович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 115 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла в двумерной релейной системе с гистерезисом
§ 1. Существование предельного цикла в случае а > 0, Ь> 0,
8/3-МЪ< 0 .'
§2. Условия устойчивости в целом стационарного множества и существования предельного цикла в случае а > 0, Ъ> О, 8/3-МЬ>0
§3. Случай а>0, 6>0, 8/3~МЬ~
§4. Условия устойчивости в целом стационарного множества и существования предельного цикла в случае а > 0, Ъ < 0 и в случае а
Глава 2. Абсолютная устойчивость двумерных систем с
гистерезисной функцией релейного типа
§ 1. Системы сравнения. Условия абсолютной устойчивости в
случае а > 0, 6 > О
§2. Условия абсолютной устойчивости в случае а> О, Ъ< 0 и в случае а
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
К изучению систем с релейно-гистерезисными нелинейностями приводит широкий круг задач современной техники. Такие системы используются как для описания динамики в стационарных системах управления химическими процессами, техническими устройствами, так и в системах управления подвижными объектами, например, в корабельной энергетике, авиационной и космической промышленности [см., например, 14, 39, 66, 92].
По своему принципу работы релейные системы являются нелинейными. Структурную схему релейной системы представляют обычно в виде соединения линейной части системы и релейного элемента. Линейная часть включает в себя исполнительное устройство, регулируемый объект, управляющее, измерительное, задающее и сравнивающее устройства и различные внутренние связи. Релейный элемент представляет собой усилительное устройство, первостепенное значение здесь имеет повышение уровня энергии выходной величины. Характерная особенность релейных элементов [92] состоит в том, что при прохождении управляющим сигналом некоторых пороговых значений управляющее воздействие изменяется скачком, а между скачками оно практически постоянно. Это обстоятельство приводит к своеобразию методов исследования релейных систем.
Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы прошлого столетия в работах
А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.А.Витта, А.А.Фельдбаума и Ф.Краутвига [10-12, 85, 86, 105] и получили существенное развитие в последующие годы.
В работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.Г.Майера [10, 11] для изучения поведения решений систем автоматического регулирования были развиты методы фазовой плоскости и фазового пространства, основные идеи которых были изложены еще в работах А.Пуанкаре и Г.Биркгофа, а также метод точечных отображений, который позволил полностью решить ряд классических задач теории управления и оказался эффективным при исследовании поведения решений двумерных систем с кусочно-линейными характеристиками.
В дальнейшем метод точечных отображений был применен Ю.И.Неймарком [67, 68], Н.А.Железцовым [10], А.А.Фельдбаумом [85, 86] и многими другими авторами к исследованию релейных систем автоматического управления. На основе этого метода Р.А.Нелепиным [69] был разработан метод сечений пространства параметров, позволивший провести исследование систем выше второго порядка.
Одной из основных задач теории автоматического управления является определение значений параметров системы, при которых положения равновесия или стационарные множества системы являются устойчивыми.
Теория устойчивости движения динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, были создана в конце XIX века А.М.Ляпуновым [57]. Большое значение для исследования

устойчивости нелинейных систем автоматического управления имеет второй метод Ляпунова, который широко применялся и развивался начиная с 30-х годов прошлого столетия Н.А.Еругиным [34], В.И.Зубовым [36],
Н.Н.Красовским [41, 42], А.И.Лурье [54 - 56], А.М.Летовым [52],
В.А.Плиссом [73, 74], Я.З.Цыпкиным [89-92], В.А.Якубовичем [94-98] и многими другими авторами. Основная трудность в применении этого метода состоит в построении функции Ляпунова, т.к. регулярных методов ее построения для нелинейных систем не существует. Кроме того, второй метод Ляпунова, как правило, позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости нелинейных систем.
В 1944 году в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова [56] было впервые дано определение абсолютной устойчивости систем автоматического управления с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию 0 <0>(ґ,сг)сг < ко2 для У і єі, УсгєК. Там же был предложен метод исследования таких систем, в основе которого лежит второй метод Ляпунова. Развитие этого метода и его применение для решения ряда практических задач было дано в работах А.И.Лурье, А.М.Летова, М.А.Айзермана [1-6] и других авторов.
В работе Е.С.Пятницкого [81] для получения необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерной системы с секторной нелинейностью был применен принцип максимума Понтрягина. Позже А.П.Молчановым и Е.С.Пятницким [64, 65] с помощью аппарата функций Ляпунова найдены необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем.
В работах Я.З.Цыпкина [89-92], Д.В.Аносова [13], В.Г.Болтянского и Л.С.Понтрягина [21], А.Х.Гелига [28-31] и других авторов методы А.М.Ляпунова были обобщены на системы с разрывными нелинейностями и, в частности, на релейные системы.
В 1959 году в работе румынского математика В.М.Попова [109] был впервые доказан частотный критерий абсолютной устойчивости положения равновесия для систем с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. В.А.Якубовичем [94-98] критерий Попова был распространен на случай неоднозначных гистерезисных нелинейностей, В.М.Поповым и
А.Халанаем [77-79] - на системы с запаздыванием, А.Х.Гелигом [29, 30, 32] - на системы с неединственным положением равновесия и системы с распределенными параметрами, Я.З.Цыпкиным - на нелинейные импульсные системы.
Р.Е.Калман [103] показал, что критерий Попова тоже основан на идеях второго метода Ляпунова. Поэтому частотные критерии абсолютной устойчивости доставляют лишь достаточные условия устойчивости положений равновесия нелинейных систем.
Еще одним эффективным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем является принцип систем сравнения, основы которого были заложены в работах С.А.Чаплыгина [93] и Е.Камке [104]

arctg
—2Maw
ô/3 + M{2av + b)
Л + ЯТ

sp-мь
(ySp + M(2av + è)) +(2 Maw)2
(1.25)
где r

f0, если ÔP + M(2av + è) < 0, [l, если Sp + M(2av + è) > 0,

<ô <
2/?v
av2 + Доказательство. 1) Пусть a2 -4p >0, Я, > -b/a.
Рассмотрим сначала случай Л2>Л1 > -b/a.
В этом случае b2-aab + Pa2> 0, Ц={(х,у)'- ау+ bx = -S, у <-у},
и , с ) a(ôp-Mb)
Z2 = {(x,y): ay + bx = S,y>y), где Y =
b -aab + Pa
Положения равновесия являются устойчивыми узлами, расположение траекторий на фазовой поверхности показано на рис. 1.18. Неравенство ?>>-Ь/а определяет наклон траекторий вида у = А12(±М/Д) (у> 0 или у < 0) систем (1.3) и (1.4) по отношению к наклону лучей Zj и 1.