Нелинейные краевые задачи со смещением для некоторых уравнений смешанного типа

• Автор: Астафьева, Лилия Кабировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 124 c. : ил

Глава I. Задачи типа Трикоми с алгебраической нелинейностью

в краевом условии

§ I. ^Задача для модельного уравнения в полярных координатах

1.1. Постановка задачи и её редукция к краевой задаче теории аналитических функций

1.2. Задача о модуле аналитической функции

1.3. Случай разрешимости в явном виде

1.4. О распадении на линейные задачи

1.5. О разрешимости задачи при некоторых дополнительных условиях

1.6. Везше

§ 2. .Задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

2.1. Формулировка задачи и сведение её к нелинейной краевой задаче типа Гильберта

2.2. Задача о модуле аналитической функции
2.3. Второй случай разрешимости задачи (2.6) в явном виде
2.4. Случай распадения на линейные задачи
2.5. Некоторые замечания
Глава II. Задачи со свободными границами
§ 3. Задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
3.1. Постановка задачи и сведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций
3.2. Исследование смешанной краевой задачи при некоторых дополнительных предположениях
3.3. Продолжение
3.4. Продолжение
3.5. Применение конформных отображений
3.6. Резше

§ 4., адача для уравнения с двумя линиями изменения типа .. . 56.
4.1. Постановка задачи и приведение её к краевой задаче со свободными границами для аналитических функции
4.2. Случай распадения на линейные задачи
4.3. Линейно-эллиптический случаи
4.4. Другие случаи
4.5. Таблица случаев явной разрешимости
§ 5. У равнение в полярных координатах 74 .
5.1. Постановка задачи, приведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций
5.2. Исследование нелинейной смешанной краевой задачи со свободными границами
5.3. Применение конформных отображений
Глава III. Задачи с "малой” нелинейностью
§ 6. Уравнение с круговой линией изменения типа
6.1. Постановка задачи и приведение её к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Гильберта
6.2. О разрешимости системы
6.3. Единственность решения
§ 7. Система дифференциальных уравнений первого порядка
смешанного типа
7.1. Формулировка задачи и редукция её к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши
7.2. О разрешимости системы в частном случае
7.3. Продолжение
7.4. Другой случай разрешимости
Л.итература

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа - один из еэжных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Первая работа Ф.Трикоми [82] появилась около шестидесяти лет назад, однако период наиболее интенсивного развития этой теории приходится на последние тридцать лет. Начало этому периоду положено исследованиями советских математиков М.А.Лаврентьева,A.B.Би-цадзе, К.И.Бабенко, Ф.И.Франкля, И.Н.Векуа. Ими получены фундаментальные теоретические результаты и установлены сеязи с задачами трансзвуковой газовой динамики [9,23,70,71], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [17], безмоментной теории оболочек [17]. Позднее были обнаружены и другие приложения: в магнитной
гидродинамике [38], теории электронного рассеяния [8l], в прогнозировании почвенной влаги [49], в биологии [27,50] .Важные результаты по этой тематике в дальнейшем были получены в работах М.М.Смирнова,В.П.Михайлова,С.П.Пулькина, В. Ф.Волкодавова, Т.В Лек-марева, В.Н.Врагова, А.М.Нахушева и их учеников. Обзор многих результатов имеется в монографиях А.В.Бицадзе [12,13], Л.Берса [ 9], М.М.Смирнова [67], М.С.Салахитдинова [63], Т.Д.Джураева [ 26].
В 60-х годах появились статьи В.И.Жегалова [28] и А.М.Наху -шева [ 51], в которых впервые поставлены и изучены краевые задачи со сдвигами в гиперболической области, а также работа А.В.Бицадзе и A.A.Самарского [14], где подобная задача рассматривалась для эллиптических уравнений. Эти задачи со "смещениями", или "нелокальные", как их назвали позже, быстро привлекли внимание математиков. В настоящее время имеется большое число работ, где такие задачи изучаются для дифференциальных уравнений различных типов.

тау-У+СОбМ! • 5;п«-^-С052уУ'г . и&'1 ” 2*« ’ V, 2<Л. ’
сове I=сн Щ^)'ь = (< + у*.
Граничные значения вещественной и мнимой части функции ц, на дуге Со есть
1Л2|й=^0СбНи0Н.|и0+ ^Ь^б|)е^а7с1^ . (3.27)
Поделив коэффициенты (3.26) на ^ и вводя новые обозначе-

имеем:

• (ХЙ-|Ь
’ р

I/ если $(|17 О.Ц = 6^17-6^ = *
то (3.6) представляет собой уравнение мнимого эллипса и, следовательно, задача решений не имеет, так как условие (3.6) противоречиво само по себе;
2/ если то получим уравнение эллипса
и| хг
+ -4- И
Согласно принципу соответствия границ, образ области Б^. при отображении лежит либо внутри, либо вне эллипса, поэтому выполняется одно из неравенств:

' Г2 +
[«?„(&) + и0) С05 К - [ | + Ц(р0(.а')+ и0151п.|‘ + [ ^ф((бЙб+и-суо&у]^-2>1 ; [((ро(&)+и0)СО&|-[^Д^&-+т>0]&1П5*]
+ [(ф0(&1+и0)&1ггу ^йчек^соа^
^-2 + -г< (