Матричные дифференциальные уравнения в базисе алгебр Ли

• Автор: Деревенский, Владислав Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 276 с.

ОГ ДАВЛЕНИЕ

Условные обозначения

Введение

Некоторые сведения из теории алгебр Ли

Глава I. Односторонние матричные линейные

дифференциальные уравнения

§1. Односторонние МЛОДУ.1 в базисе алгебр Ли..................... 22 ,

1.1. Основные свойства

1.2. Экспоненциальное решение

1.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение

1.4. МЛЛОДУ. 1 в двумерном пространстве
1.5. МЛЛОДУ. 1 в присоединенном матричном представлении
1.6. Линейные диффеоморфизмы
1.7. Приводимость МЛООДУ.
§2. Односторонние МЛОДУ. 1 общего вида
2.1. Общие свойства
2.2. Экспоненциальное решение однородного МЛОДУОВ.
2.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение
2.4. Линейные дифеоморфизмы
2.5. Приводимость однородного МЛОДУОВ.
§3. Системы односторонних МЛОДУ.
3.1. Оператор Гаусса
3.2. Системы матричных односторонних
алгебраических линейных уравнений
3.3. Интегрируемость систем односторонних МЛОДУ.
3.4. Система второго порядка
3.5. Линейные диффеоморфизмы
и приводимость однородных СМЛЛОДУ.
3.6. Односторонние системы общего вида
§4. Матричные линейные уравнения высших порядков
4.1. Разрешимость в квадратурах МЛОДУ.
4.2. Некоторые свойства односторонних МЛОДУ.

4.3. Односторонние уравнения третьего порядка
4.4. Матричные линейные уравнения высших порядков
4.5. Два типа разрешимости МЛЛОДУ.К
4.6. Линейная полиприводимость
матричных уравнений высших порядков
Глава И Двусторонние матричные линейные
дифференциальные уравнения
§1. Двусторонние уравнения первого порядка
1.1. Редуцирование матричных уравнений
1.2. Интегрирование двусторонних МЛОДУ.
1.3. Один тип МЛ ОДУ СДУЛ
§2. Системы МЛОДУСДУ.
2.1. Условия интегрируемости
2.2. Двумерная система МЛ ОДУ СДУ.
2.3. Пример
§3. МЛОДУСДУ высших порядков
3.1. Факторизуемые матричные
двусторонние уравнения высших порядков
3.2. Пример
3.3. О МЛОДУ СДУ высших порядков, эквивалентных
матричным системам с двусторонним умножением
3.4. Пример
Глава III.Нелинейные матричные
дифференциальные уравнения
§ 1. Квазилинейные МОДУ. 1
1.1. Определение и свойства квазилинейных уравнений
1.2. Экспоненциальное решение квазилинейного уравнения
1.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение
1.4. Квазилинейное уравнение в базисе трехмерной
нильпотентной алгебры Ли
§2. Дифференциально-автоморфные уравнения

2.1. Определение и свойства

дифференциально-автоморфных уравнений
2.2. ДАУ.1 в базисе разрешимых и -^3 .
2.3. Неоднородное ДАУ.
2.4. ДАУ. 1 общего вида
2.5. Системы ДАУ.
§3. Нелинейные уравнения высших порядков
Глава 1У.Применение матричных дифференциальных
уравнений к исследованию скалярных ОДУ
§1. Линейные уравнения второго порядка
1.1. Скалярные ЛОДУ.
1.2. Связь ЛОДУ.2 и уравнения Риккати
1.3. ЛОДУ.2, порождаемые триангулируемыми системами ЛОДУ.
§2. Линейные уравнения третьего порядка
2.1. ЛОДУ.п в присоединенном представлении алгебр Ли
2.2. ЛОДУ.3 в ПМП разрешимых
2.3. Общий вид ЛОДУ.З в ПМП разрешимых
2.4. ЛОДУ.3 в ПМП простой некомпактной Ь3
2.5. ЛОДУ.З в ПМП простой компактной Ь3
2.6. ЛОДУ.З, порождаемые треугольной системой
2.7. Эндоморфные преобразования решений ЛОДУ
2.8. Полиприводимость ЛОДУ
§3. Системы скалярных дифференциальных уравнений
3.1. Системы однородных ЛОДУ
3.2. Кривая Монжа квазилинейного уравнения в частных производных
3.3. Один вид квазилинейной скалярной системы
Заключение
Литература

(36), записанной в традиционной последовательности индексов /, к.
Как и в случае Т2, существование производных любого порядка по gk от правой части системы (36) обеспечивает существование и единственность ее решения, а, значит, и решения (35) уравнения (12). ♦
Таким образом, для решения уравнения (12) прямая и обратная задачи мультиплицирования экспоненциальных решений решаются приравниванием двух форм X
ехр(х‘ Е%) = П ехр(£, Е1) : х‘(0) = gi (0) = 0.

Связь между х и gi определяется равенством левых частей систем (30) и (40)
. со 1 N у-1 ,
X ;-----------) = П ехр(? .с) ) (41)
й=0(л + 1)! ;=1 *=1 У
Эта система позволяет найти х через gi, т.е. по решению (35) найти решение (27). Обратное обеспечивается следующими утверждениями.
Следствие 1. Если в уравнении (12) Ьы разрешима, то решение (35) для него находится в квадратурах.
♦ Доказательство этого предложения почти полностью повторяет доказательство С1Т2 с той лишь разницей, что в (35) вместо рядов Р(Б) фигурируют экспоненты отдельных слагаемых матрицы Д Д = (gj Сд ). При этом нет необходимости доказывать ни сходимость экспоненциальных рядов, ни невырожденность их. ♦
На основании сказанного можно сформулировать Следствие 2. Для разрешимых Ьы прямая и обратная задачи мультиплицирования экспоненциального решения уравнения (12) сводятся к квадратурам.
Заметим, что в случае определения решения уравнения (12) в виде (35) справедливы аналоги остальных следствий Теоремы 2, которые, ввиду их очевидности, формулироваться не будут.
Пример решения уравнения (12) в мультипликативно-экспоненциальном виде будет рассмотрен в следующем пункте.
1.4. МЛЛОДУ.1 в двумерном пространстве. Удобство и эффективность рас-смотрения уравнений (10) в базисе алгебр Ли существенно осложняется проблемой определения базиса Ь№ над которой задается МЛОДУ. 1. Проблема эта