Качественные свойства некоторых дискретизаций параболических уравнений

• Автор: Колбина, Светлана Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с.

ВВЕДЕНИЕ
Идея дискретизации дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) для аппроксимации его решений введена в математику уже давно, начиная с классических работ Л. Эйлера и других основоположников анализа.
В настоящее время переход к дискретизованному уравнению является одним из основных методов построения приближенных решений (см., например, [25]). Метод дискретизации (метод конечных разностей)
.'.кг-
используется не только в теории численных методов, но и в общей теории дифференциальных уравнений для качественного исследования решений [30].
В связи с интенсивным изучением бесконечномерных динамических систем, порождаемых, в частности, уравнениями в частных производных (отметим книги [11, 12, 15, 24]), возник интерес к исследованию соответствующих конечномерных систем, порождаемых дискретизациями этих уравнений.
В первую очередь изучению подверглись свойство диссипативности таких систем (разностных схем) и структура их глобальных аттракторов [9, 13, 31]. Кроме того, изучалось свойство отслеживания приближенных

траекторий точными. Это свойство было установлено в окрестности гиперболической неподвижной точки [1, 2, 18], а также в окрестности глобального аттрактора параболического уравнения в том случае, когда эволюционная система является системой Морса-Смейла [17, 22].
В диссертации изучаются некоторые качественные свойства дискретизаций нелинейных параболических уравнений в частных производных.
Представляют интерес различные задачи, связанные с динамическими системами, порождаемыми дискретизациями - теория инвариантных множеств для таких систем, оценки расстояний между их траекториями точных уравнений на бесконечных временных промежутках, задачи о восстановлении параметров дифференциальных уравнений по наблюдениям дискретизаций их решений (задачи локальной параметрической идентифицируемости).
Изучение сформулированных задач представляет интерес как для общей качественной теории бесконечномерных динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями в частных производных, так и для теории численных методов, т.к. методы дискретизации являются наиболее часто используемыми.

Содержание работы
В диссертации используются следующие пространства:
Ск{0, я) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций, действующих из открытого множества (0,я)е11 в И.
С1 о(0,я) -линейное пространство всех функций из С1 (0,/г) с компактным носителем в (0, я).
Ь2(0, я) - пространство всех интегрируемых с квадратом функций с нормой
Н,я) - пространство Соболева, состоящее из всех функций иеЬ2(0,тг), обладающих интегрируемыми с квадратом обобщенными производными первого порядка, с нормой
/ 71 г 2>
Г 1 |2 ОН сЬг
1 м+ дх
Ч
Н)(0,7г) - подпространство Я1 (0, я), состоящее из функций, обращающихся в 0 при х=0 и х=я; эквивалентная норма
Н2(а,Ь) - пространство Соболева с нормой

утверждение.
Лемма 1.4 По любой окрестности И7 глобального аттрактора А в К можно указать такую его окрестность IV и положительные числа И=И{Vи П'=/)'(й7',й7), что если Ит<К, Д„<£>' и те И7*пК(т), то

Т,"т(у) єІУпри 0<«<
Напомним, что мы обозначили тт = Ит+Г)т.
Теорема 1.2 Существует такая окрестность 1¥0 глобального аттрактора А, что если построенная в §1 последовательность {ит) лежит в Ло и г,„-»0 при т-><х, то |м„,-я|к->0 при т->ос для некоторой неподвижной точки я.
Доказательство. Рассмотрим ограниченное множество В=Н 0-Найдем, используя предложение 1.1, соответствующие этому множеству и числу Тчисла Со, к* я И*.
Применим лемму 1.4 и найдем соответствующие окрестность IV и числа И(Ш' яИ' (уУ ,]¥).
Так как аттрактор А устойчив по Ляпунову, существует такая его окрестность IV, что
аВ при г>0.
По условию, гш—»0, следовательно, кт-+0 я [),„->(), поэтому существует такое число то, что для т>то выполнены неравенства