Развитие теории положительных решений квазилинейных эллиптических уравнений в RN и ее применения к моделям уединенных волн

• Автор: Шеина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 157 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Нетривиальные решения квазилинейного эллиптического уравнения
1.1. Метод перевала в задаче о нетривиальном решении квазилинейного уравнения с параметром в ограниченной области
1.2. Метод перевала в задаче о нетривиальном решении квазилинейного уравнения с параметром в Ж"
1.3. Собственные функции квазилинейного анизотропного уравнения

1.4. Метод перевала в задаче о положительном решении анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения в Ж"
Глава 2. Уединенные бегущие волны и решения квазилинейных уравнений в Ж
2.1. Моделирование динамики уединенных вихрей
2.2. Численное решение квазилинейного эллиптического уравнения

2.3. Численное моделирование динамики уединенных вихрей
2.4. Моделирование уединенных микромагнитных конфигураций
Глава 3. Существование уединенных бегущих вихрей при наличии зонального потока и неоднородного электрического поля
3.1. Постановка задачи
3.2. О существовании уединенных вихрей на фоне зонального потока
в атмосфере быстровращающейся планеты
3.3. О положительном бесконечно гладком вихре в атмосфере на фоне зонального потока
3.4. О существовании уединенного бегущего вихря в замагниченной плазме при наличии неоднородного электрического поля
3.5. Численное решение задачи о вихре в зональном потоке
Заключение
Список литературы
Приложение

Введение
Диссертация посвящена изучению вопроса существования нетривиальных решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространстве КЛ' и применению полученных результатов к исследованию физических моделей и описывающих их уравнений, в рамках которых возможно существование уединенных волн.
В настоящее время в различных областях физики большое количество исследований посвящено изучению нелинейных волновых процессов. Это относится к задачам гидродинамики, к различным вопросам теории плазмы и нелинейной оптики. В процессе развития теории нелинейных волн выявился ряд нелинейных волновых уравнений, которые имеют интересные свойства. Они обладают рядом интегралов движения, а также могут быть интегрируемы с помощью так называемого метода обратной задачи для вспомогательного линейного оператора. К числу таких уравнений относятся, например, известное одномерное уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ) и двумерное уравнение Кадомцева-Петвиашвили, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Клейна-Гордона. Другим общим свойством указанных уравнений является наличие у них частного решения в виде уединенной бегущей волны. Под уединенным или локализованным решением понимается классическое решение, стремящееся к нулю на бесконечности. В настоящее время этой теме посвящено большое количество обзоров [1-6].
В 1964 г. Забужский и Крускал с помощью численного моделирования обнаружили, что два решения уравнения Кортевега - де Фриза, оба имеющие вид уединенной бегущей волны, взаимодействуют аналогично упругому столкновению частиц, обменивающихся импульсами. Обобщая этот факт, они ввели понятие солитонов, под которыми понимаются локализованные нелинейные волны, асимптотически восстанавливающие свою форму при взаимодействии с произвольным локальным возмущением.
Одна из задач, которая возникает в связи с изучением солитонов,

состоит в выявлении физических моделей, для которых описывающие их уравнения допускают существование решения такого типа. В ряде случаев профиль волны может быть решением квазилинейного эллиптического уравнения, убывающим до нуля на бесконечности. Для простейших уравнений с однородной нелинейностью и постоянными коэффициентами такое решение может быть выписано явно. Впервые солитонное решение было получено Буссинеском в 1872 г. для одномерной модели длинных волн на поверхности жидкости. Оно положительное и экспоненциально убывает на бесконечности. Такой же профиль имеет и уединенная бегущая волна в уравнении Кортевега - де Фриза. Для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [9], которое считается его двумерным обобщением, Сацума [10] получил точное п-солитонное решение, в случае п=1 называемое лампом. Это знакопеременная функция, медленно (обратно пропорционально квадрату расстояния от центра) убывающая на бесконечности. Известны солитонные решения уравнений эте-Согбоп и Бюргерса, имеющие альтернативную уединенным волнам форму кинка.
Во многих работах рассматривался вопрос существования многомерных солитонов. В 1943 г. М. А. Лаврентьев опубликовал теоретические доказательства существования длинных уединенных волн на воде [45]. В [11-13] обсуждается, при каких условиях двумерные и трехмерные уединенные бегущие вихри могут появиться в плазме в рамках следующих моделей: дрейфовые потенциальные вихри, желобково-альфвеновские
трубки, ионно-звуковые волны, тороидальные МГД-вихри. В монографии [38] изучается возможность существования двумерных солитонов в мелкой воде и атмосфере, а также трехмерных солитонов в мелкой стратифицированной атмосфере. В [71] вводятся три типа солитоноподобных структур, появляющихся в рамках моделей гидромеханики, таких как движение жидкости конечной глубины, двуслойной либо находящейся под ледовой пластиной. В монографиях [69, 70] исследованы явления заострения уединенных волн и их разрушения. В [39, 72] изучается вопрос

поэтому IP«J|/2(rW) S(C,V(Л, -Я)) = с2.
2”. Множество Q, = supp h* по условию (Д) не пустое, а по условиям (Д), (В2) ограниченное. Используя неравенство Соболева [29, с. 181]
верное при N > 3, получаем цепочку неравенств
ß+0O = в* (К, О,) < с,|у < ад2. < с8|^«„ц; < с3,
ß (£![) ß (R ) L <к >

В+(и) = jb+(x)u2dx, B*(u,Q) = §b+(x)u2dx, b*^ = ess sup6+(x),
П xeR^
с7=^|п,Г, с, = c7c2, c3=c8c22.
3“. Покажем, что для всех и из (КЛ ) имеет место неравенство
IM£u(Ry 1Г(м) = Согласно условию (Д), существует множество Q, такое,
что 6"(х)>С5 >0 для всех хеК"Ш2. Тогда |[/||22 N <ß"(w,Kwfi2)/C5, где
t (R jri2)
В~(и,П) = ^J>~(x)u2dx. Для ограниченной области Q2 вновь применим неравенство Соболева и получим оценку
Ы22 <с9|И|2. ^с9|И12. sc10|pM||
L (Sl2) Lq (Пг> jq (цЛГ) L (К )
С, =| Ci2 |2да, С10=С9С2. Поэтому неравенство (1.2.6) верно с
С4 = тах(1 + Сш,1/(ЯС3).
4°. Таким образом, из неравенства (1.2.5) следует, что
* C4(|f7«„||22(^) +ЛВ-{ип)) < С4(С, + ЯС3) = С.
4. Из {м„};у выберем слабо сходящуюся подпоследовательность. Оператор вложения Соболева 1FU(K") с 2 поэтому нельзя утверждать, что ее слабый предел uiß принадлежит SAt. С помощью метода концентрированной компактности Лионса покажем, что при выполнении условий (Д), (Д) на а,Ь минимизирующая последовательность