Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их применения

• Автор: Карамова, Альфира Авкалевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
1. Экстремальные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения
§ 1.1. Постановка задач Х и г1
§ 1.2. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности
§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности
§ 1.4. Экстремальные свойства, решений в смешанной области 29 §1.5. Примеры
2. Спектральные свойства решений уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева — Бицадзе с двумя линиями изменения типа и их применения
§ 2.1. Построение системы собственных функций и исследование на полноту
§ 2.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения с
оператором Лаврентьева - Бицадзе
§ 2.3. Решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева
Бицадзе с комплексным параметром

§2.4. Пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного шпа с двумя плоскостями изменения типа
3. Решение краевых задач для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения
§3.1. Решение задачи ТИ
§3.2. Решение задачи Т
§ 3.3. Решение задачи ТЛд
§3.4.Решение задачи ТЛ
Литература

Введение
Уравнения смешанного типа, встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому в последние десятилетия краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание Ml-ю i и х ученых.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [79, 80] и С. Гел-лерстедта [91], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи. для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как ” задача Трикоми” и ” задача Гел-леретедта”.
В 10 - х годах Ф.И. Франк ль [82, 83] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газо,динамике. Кроме того, в последние годы на важность уравнений смешанного тина указано в работах О.С. Рыжова [53], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [48], Э.Г. Шифрина [89], Г.Г. Черного [87], А.Г. Кузьмина [32] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и друI 'ими вопросами.
В 50 - е годы в работах Ф.И. Франк ля [84], A.B. Бицадзе [4] [10], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джураев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, O.A. Ладыженская, М.Е. Лернер, В.П. Михайлов, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев, С.М Пономарев, С.П. Пуль-

7"х (1) = 0. получим
(1.24)
Отсюда, в дочке х = х0 : иу(хо,0 - 0) = —ДДо) = 0, что противоречит неравенс тву (1.23). Теперь рассмотрим функцию шт. (О в Щ> Дня нее из (1.24) и возрастания функции т(х) при х —* 0 имеем,что и„(.с. 0 - 0) = -т[(х) > 0, V» Е (ОД)- На основании леммы 1.2 в интервале (ОД) найдется точка х такая, что ия(х',0 + 0) < 0. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Итак, у{0) не может достигаться в точке О, и, следовательно, точка <5 € Г.
Следствие 1. Если существует решение задачи Тф то оно единственно.
Пример 2. Рассмотрим модельное уравнение смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения
]де т) > 0, т > 0, в области Л (см. § 1.1), изученное многими математиками.
В области Л?( перейдем в характеристические координаты Д,д) :
Тогда уравнение (1.25) принимает вид
дпу у”игг + $дпх Щтиуу = Р{ж,у).
(1.25)
Л| (у) = Щц + — - — (Т.; — Ц,() + + ич) — /ь
(1.26)

Р1 - КГ ; .ТС:
2(»? д 2) 2(т + 2)