Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса

• Автор: Новикова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 146 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Развитие науки о солитонах: движущие факторы эволюции, различные подходы к поставленным задачам

1.1 Важные открытия в истории науки о солитонах и факторы, их побудившие

1.2 Операторные структуры, приводящие к интегрируемым уравнениям

1.3 Методы построения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению

ГЛАВА 2. Исследование комплексного нелинейного уравнения в частных производных

2.1 Получение исследуемого уравнения с помощью операторной структуры нулевой кривизны

2.2 Получение другой коммутационной структуры в виде уравнения Лакса .

2.3 Построение точных решений в виде бегущих волн

2.4 Применение метода Хироты

2.5 Свойство Пенлеве. Решение уравнения в виде ряда Лорана
2.6 Автомодельные решения
2.6.1 Автомодельные преобразования
2.6.2 Возможные случаи получения автомодельных решений
2.6.3 Случай получения решения, когда N = -1, к < -
2.6.3.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов
2.6.3.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте

а-1 Ф
2.6.3.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте

2.6.3.4 Обобщение полученных результатов
2.6.4 Случай получения решения, когда N = ~к~2, к> -
2.6.4.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов
2.6.4.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-к-2 ф
2.6.4.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-к-2 =
2.6.4.4 Обобщение полученных результатов
2.6.5 Получение решений исследуемого уравнения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Многие физические задачи о нелинейных волнах описываются математическими моделями, представляющими нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые имеют специальные частные решения - солитоны, локализованные в пространстве и во времени. Решение такого рода задач является предметом исследования теории солито-нов.
Среди нелинейных дифференциальных уравнений солитонного типа выделяется класс уравнений, обладающих операторной структурой Лакса. Достоинством этих уравнений является возможность применения всего арсенала математических приёмов, способов анализа и методов эффективного исследования, позволяющих, в частности, точно вычислять бесконечные серии их частных решений. К ним относятся метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), преобразования Бэклунда, метод Хироты, построение точных решений в виде бегущих волн, автомодельных решений, наличие свойства Пенлеве и др. Такое колоссальное разнообразие методов исследования этих уравнений дает возможность выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем. Поэтому исследование такого рода уравнений и поиски методов отыскания их частных решений представляют большую практическую ценность и значимость.
Значительное место в теории солитонов отводится комплексным нелинейным уравнениям. Они встречаются в различных приложениях, поэтому их исследование также носит актуальный характер. Приведем примеры некоторых из них.
Нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ)
»>,+^я + ^И2=0»
где I// — комплексная функция, описывает целую совокупность явлений в физи-

Экспоненциально-автомодельными решениями называются решения вида
а>(х,*) = еТ(£), £ = хе*, (1.3.8)
Экспоненциально-автомодельные решения существуют, если исследуемое уравнение (1.3.7) инвариантно относительно преобразования ? = 7 + 1п С, х; = Скх, со = С'" со,
где С > 0 - произвольная постоянная при некоторых кит. Процедура поиска решений такого типа на практике проводится по следующему критерию существования: если к и т найдены, то новые переменные имеют вид (1.3.8) с параметрами а - т,Р = -к [139].
Обобщенно-автомодельными решениями называются решения вида
со[хэ)-(р(1;)и(г), г = включающие в себя описанные выше автомодельные и экспоненциальноавтомодельные решения (1.3.6) и (1.3.8). Поиск обобщенно-автомодельных решений проводится следующим образом: выполняется подстановка (1.3.9) в исследуемое уравнение (1.3.7). Затем функции (р{1) и !//(?) выбираются так, чтобы функция м(с) удовлетворяла одному обыкновенному дифференциальному уравнению [139].
Имеется множество разнообразных подходов к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Обзор некоторых из них приведен в [97], [110], [139].