Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций

• Автор: Воронецкая, Марина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 97 с.

Глава 1. Основные свойства среднего значения почти периодического лагранжиана

§1. Основные свойства почти периодических функций

§2. Свойства среднего значения почти периодических функций

§3. Свойства минимума функционала в виде среднего значения

Глава 2. Некоторые вариационные задачи, определенные

на множестве почти периодических функций

§4. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств

§5. Необходимые условия слабого минимума для задачи Вольца

§6. Необходимые условия решения в сильном смысле задачи Больца

§7. Необходимые условия второго порядка

Глава 3. Среднее значение квадратичной формы

и условия второго порядка
§8. Необходимые и достаточные условия неотрицательности
среднего значения квадратичной формы
§9. Условия строгой положительности среднего значения
квадратичной формы
§10. Условия строгой положительности квадратичной формы
в одномерном случае
§11. Достаточные условия второго порядка
решения простейшей задачи вариационного исчисления
Список литературы

Обозначения
Жп — стандартное евклидово пространство размерности п с нормой |æ| = Jx*x ;
Hom(M”) — пространство линейных операторов А : Мп —» Мп с нормой
А = max Ах I ;
1*1
О,.[0]— замкнутый (в Жп) шар с центром в 0 и радиусом г;
С'([а, 6], Ж”) — пространство непрерывных функций х : [а, Ъ] —> Ж” ;
Loo (Ж, Ж") — пространство ограниченных в существенном на Ж функций
х : Ж -у Ж" с нормой ЦхЦоо = ess sup x(t) ;

L110C(M, Mn) — пространство локально суммируемых функций х : Ж —У Жп ; mes— мера Лебега на Ж;
сошр(Х) — совокупность компактных подмножеств метрического пространства X;
М‘) = /(■ + г) - сдвиг функции / на г;
orb(/) — замыкание (в Ж") множества {/(£), t 6 Ж};
u7[f,U] = sup{|/(æ1) - f(x2), xhx2eU, хг - æ2| ^ 7} “
7 - колебание функции / на множестве U 6 comp(i?n) ;
1 Т
= lim m J f(t)dt — среднее значение функции /.
Г-»О0 g

Почти периодические (п.п.) функции широко используются в различных областях математики и ее приложениях. Одной из важных областей применения теории п. п. функций является теория колебаний, описывающая колебательные процессы физических систем, рассматриваемых, например, в механике, теоретической физике, небесной механике, теории электрических цепей, электро- и радиотехнике.
Важной сферой применения п. п. функций является теория систем дифференциальных уравнений с п. п. коэффициентами. К настоящему времени число работ в этом направлении стало трудно обозримым. Поэтому отметим лишь работы [1]-[13] монографического характера, в которых приведены основные методы исследования п.п. решений таких систем, и содержащих комментарии работ, посвященных теории дифференциальных уравнений с п. п. коэффициентами и ее приложениям. Отметим также работы [14]-[21], в которых на основании вариационного принципа Лагранжа получены необходимые и достаточные условия существования п. п. (по Бору) решений уравнения Эйлера-Лагранжа с функцией L £ х ЖП,М).
В работе [14] Blot J. указал, что множество п. п. решений этого уравнения совпадает с совокупностью стационарных точек функционала

ж(-) и> J(x(-)) = M{L(x(t), = lim — j L(x(t), x(t)) dt,
T-> oo 1 J
определенного на множестве В1 = В1 (Ж, Rn), состоящем из функций, принадлежащих вместе со своей производной пространству В (Ж, Кп) п.п. по Бору [8, 9] отображений. В этой и последующих своих работах, основываясь

Замечание 4. Пусть отображение L G С^М" х К", Е), тогда для всякой функции ж(-) £ В1 (Ж, Ж”) отображения
t н* L[x(t),x(t)), t ьд L'x{x{t),x(t)), t ну L'u(x(t),x(t))
будут п.п. в смысле Бора [13]. Принимая во внимание замечание 1, получаем, что функционал
х(-) нэ J(x(-)) = M{L(x(t),x(t))} (4.4)
будет непрерывно дифференцируем по Фреше на 51(М, Еп). Поэтому из теоремы 5 вытекает один из основных результатов работы [14]: если функция х(-) 6 Bl(R, Ега) такова, что J7 (£(■)) = 0, то -г(-) является решением уравнения (4.3). Л
Рассмотрим, далее, экстремальную задачу, определенную на множестве 03 (Е, Кп) при наличии ограничений на средние значения в виде равенств и неравенств.
Пусть функции Lj : Е х V х Еп -д- К, j = 0 к + т удовлетворяют условию, аналогичному условию А) для отображения L (см. §2). В этом случае на множестве В (3.3) корректно определены функционалы
х(-) (->■ j = 0, ...,k + m. (4.5)
Введем, далее, в рассмотрение множество
D = {х 6 В : Ij(x{-)) < 0, j = 1,. ..,к, Ij(x(-)) = 0, j = к+1 к+т},
и рассмотрим п. п. задачу с ограничениями на средние значения в виде равенств и неравенств:
Iq(x{-)) -> inf, x(-)eD, (4.6)