Гладкость и аппроксимативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интервале

• Автор: Аманова, Тулеугуль Тулеубаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 80 c. : ил

§ I. Некоторые известные результаты о гладкости решений

уравнения Штурма-Лиувилля

§ 2. Некоторые сведения из теории вложения функциональных пространств

§ 3. Разделимость дифференциальных операторов нечетного

порядка в и

§ 4. 0 разделимости одного дифференциального оператора

§ 5. Гладкость решений нелинейного уравнения ШтурмаЛиувилля

§ 6. Разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля

§ 7. Оценки поперечников множеств, связанных с областью

определения операторов нечетного порядка

§ 8. 0 полноте системы корневых векторов резольвент
операторов нечетного порядка
ЛИТЕРАТУРА
Общая теория линейных дифференциальных операторов в наиболее важных направлениях считается завершенной. Но, как правило, наиболее интересные задачи, естественным образом возникающие в приложениях, не поддаются решению известными методами и средствами, требуют специальных исследований. К таким задачам можно отнести задачу о разделимости дифференциальных операторов в неограниченной области.
Вопросы разделимости, (эквивалентные в ряде случаев наличию оценок коэрцитивности) для эллиптических операторов с гладкими коэффициентами в ограниченной области с краевыми условиями типа Шапиро-Лопатинского хорошо изучены и их решения представляют собой завершенную теорию, (см., например, [I - 5] ).
Задачами разделимости на примере оператора Штурма-Лиувилля
ния теорем разделимости они изучали поведение на бесконечности решений уравнения -у + = ^ * ВывеДенные ПРИ эт°м оценки
использовались ими для исследования функции Грина оператора (0.1).
В Советском Союзе, начиная с 1972 года этой задачей занимались Бойматов К.Х. и Отелбаев М. и позже их ученики.
Напомним, что оператор ~-у называется
разделимым в , если из того, что у £ %)(£,) вытекает, что у116 , где Я =(-<>оуоо) 9 Х)(‘) -область
определения.
(0.1)
начали заниматься (по-видимому, впервые) Эверитт и Тирц(ё(Ж1{{
£б-в] ), которые при некоторых ограничениях на ^ (х) установили разделимость оператора (0.1). Для получе-

Бойматов К.Х. [э - го] и Отелбаев М. [II -го] использовали некоторую модификацию метода Титчмарша Э.Ч. [18 ] , который ранее развивался в работах Левитана Б.М. [19] , Костюченко А.Г. [20] , Гасымова М.Г. [21] . Позже Отелбаев М. [il]привлекал также вариационный метод.
Им удалось получить ряд важных результатов о разделимости операторов типа Штурма-Лиувилля.
Дальнейшие исследования по теории разделимости проводили Измайлов А.Л. [22 - 23] , ОДуратбеков М.Б. [25 - 26] , Кальменов Т.Ш. и Отелбаев М. [24] . В частности, в работах Л^уратбекова М.Б. [2б] и Муратбекова М.Б. и Отелбаева М. [26] впервые рассматривалась разделимость нелинейных операторов.
Линейные и нелинейные уравнения нечетного порядка относятся к неклассическим уравнениям математической физики. Изучение краевых задач и качественных свойств решений таких уравнений началось сравнительно недавно и отражено в работах Кожанова А.И., Ларькина H.A., Яненко H.H. [27 - 29], Бубнова Б.А. [30] , Салахитдинова М.С. [31] и многих других авторов. Яркими представителями таких уравнений могут служить уравнения Кортевега-де-Фриза и его модификации, возникающие в теории распространения длинных волн малой конечной амплитуды, а также уравнения составного типа, возникающие в задачах гидродинамики.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вырождающихся нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля, а также линейных уравнений нечетного порядка. Привлекательными здесь являются трудности, связанные с выровдением в первом случае и неполуогра-ниченностью оператора во втором случае.
В работе помимо разделимости изучаются оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка. Из этих оценок получаются условия принадлежности резоль-

Следовательно,
С 0-Н,
. = 1 [Е
(5.5)
А.'Чнмо^ ^£&№Л/)-
Покажем теперь, что /1„ - вполне непрерывный оператор на Ь (О) М) . Для этого, в силу теоремы Рисса, достаточно показать, что множество функций {А0 ( /1./77, £ир (Аь (У))(х+1г)-(А0(1?)) (я)Ц ~0.
Щ-*о Геб(0}Н) "
Вследствие оценки (5.5), множество функций ^в(<г),гев] равномерно ограничено. Далее, £ = ,
|| (ТШК^М - Г/?о^))(зс)||г =

( £(х, 6';/£)(я:)) -1)(И *£)(*)
1-1- е(ц (х} (СЛ)(х))-I) + £ (цСх,(101%)(а.)) -1^4' г) (х)
с/сс
с/х.
а,