К теории параболических операторов второго порядка

• Автор: Химченко, Борис Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с.

ВВЕДЕНИЕ || Начальник управления ВАК Рссс
ГЛАВА 1 . пгж А.ТТКТУШШЕВВЕНевгаТТГТТРТЙ 43БЛШИ ТШЖНЕИ КРЫШКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ § 1.1 Ненулевое начальное условие
§ 1.2 О точности оценок (1.1.26) и (1.1.27) теоремы
§ 1.3 Примеры к теореме
§ 1.4 Нулевое начальное условие
§1.50 классе операторов (Б,С) и точности
оценки (1.4.7) теоремы
§ 1.6 Примечания к главе
ГЛАВА 2 . О ПРОБЛЕМЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ § 2.1 О функциях из класса Т(Ь)
§ 2.2 О единственности в классе Тихонова - Тэклинда
§ 2.3 О диссипативном эффекте в проблеме
единственности решения задачи Коши
§ 2.4 Новый подход к проблеме единственности
§ 2.5 Контрпримеры
§ 2.6 Примечания к главе
ГЛАВА 3 . ОБ АНИЗОТРОПНОМ СТРОГОМ ПРИНЦИПЕ ЭКСТРЕМУМА § 3.1 Обозначения и определения
§ 3.2 Теоремы о знаке пространственной и временной
производной
§ 3.3 О строгом принципе экстремума

§3.4 Контрпримеры
§3.5 Примечания к главе
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа , состоящая из введения и трех глав , посвящена исследованию свойств решений параболических уравнений , не зависящих от гладкости коэффициентов операторов . Отсутствие каких бы то ни было условий гладкости не позволяет построить и затем исследовать само решение , так что проблема разрешимости уравнений здесь не обсуждается . Лишь одно фундаментальное свойство , ввиду его алгебраической природы , сохраняется в столь широком классе операторов ( и только операторов второго порядка) - слабый принцип экстремума . Это обстоятельство определяет инструмент исследования , метод барьерных функций , основанный на слабом принципе экстремума и широко используемый в теории для получения априорных оценок решений как линейных (см. , например , [6] с обширной библиографией ) , так и нелинейных (см. [23] ) уравнений с неотрицательной характеристической формой.
В первых двух главах рассматриваются следствия параболичности оператора второго порядка : оценки модуля
решения вблизи нижней крышки параболической границы , зависящие от поведения начальной функции и правой части уравнения ( глава 1 ) , и , связанная с ними , проблема единственности решения задачи Коши в полупространстве ( глава 2) В главе 3 рассматривается общее для всех операторов второго порядка с неотрицательной характеристической формой свойство решений - строгий принцип экстремума в специфической для параболических операторов форме

К2еС[0,г*0]лС(2)(0,г*о] , Я2(0) = 0 , (1.4.17)
БЯ2(т) > ПЯ*(т) > 0 , те(0,г*о], (1.4.18)
П2Я2(т) = - р2Я*(т)| < О , те(0,г*0] (1.4.19)
Доказательство . Свойства (1.4.17) и (1.4.19) очевидны в силу условия (С.2). Для доказательства (1.4.18) заметим , что

1р211*(5)| сН = УатГЖ* > ря*(т) - Щ*(г*0)] > ВК*(т) - ОЯ*(г*о), т
откуда имеем оценку

ОЯ2(т) = |р2Я*(8)| ск + ГЖ*(г*0) > 1Ж*(т) > 0 ,

доказывающую (1.4.18)
Пусть е > 0 - произвольно , но фиксировано и {тт} -последовательность Гейне такая , что тте(0,г*0], хт > хт+1 > 0 , т = 0,1,2
Введем последовательность {рт} по формуле
рт2 = 2Я2(хт) + 8т , т = 0,1,2
где последовательность Бщ имеет свойства :
Зт'ЦО И 2Я2(5га)/8т440 (1.4.21)
Положим £о > 0 равным
£0 = в/ (1+л/(1+£)) < е/2 , так что (1+ео)2 = 1+в (1.4.22)
Без ограничения общности будем считать , (см.(1.4.20)) что имеют место оценки :