К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

• Автор: Шарафутдинова, Гюзель Галимзяновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 131 с.

Оглавление
Введение
1. Экстремальные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их применения
§ 1.1. Постановка задач
§ 1.2. Экстремальные свойства решений в областях гиперболичности
§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности
§ 1.4. Принцип экстремума в классе регулярных решений
§ 1.5. Принцип экстремума в классе обобщенных решений
§ 1.6. Условная разрешимость задачи Т
§ 1.7. Условная разрешимость задачи Т2
2. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
с двумя перпендикулярными линиями изменения типа
§2.1.Задача Т
§ 2.2. Задача Т2
3. Задача Трикоми для модельного уравнения смешанно-
го типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения
§3.1. Постановка задачи. Единственность решения
§ 3.2. Задачи Дарбу
§ 3.3. Задача Хольмгрена
§ 3.4. Существование решения задачи Трикоми
Литература
Введение
Возникшая в начале XX века теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях.
Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми. Для уравнения
У'М'ХХ "Ь У?/?/ — 0 (0.1)
он изучил следующую краевую задачу (задачу Т). Пусть область Л ограничена гладкой кривой Г с концами в точках Аж В оси ОХ, расположенной в верхней полуплоскости, и характеристиками 1 и /2 уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке нижней полуплоскости. Требуется найти решение и(х,у) уравнения (0.1) в классе регулярных в Л решений (и(х, у) £ С(Л) Л С1(В) Л С2(Л {у = 0})), удовлетворяющее граничным условиям и = <р на Г и и = ф на 1. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г заканчивается в точках А и В двумя сколь угодно малой длины дугами ” нормальной” кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.
Одно из направлений исследований, связанных с задачей Трикоми, заключается в ослаблении условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области. Не претендуя на полноту, проведем обзор работ, касающихся этого вопроса.

ке N Є -02, через точку N проведем характеристику уравнения (1.1)
до пересечения с характеристикой СВ в точке М. Обозначим через
Я область, ограниченную характеристиками ЯМ, МВ и отрезками
ВЕ, ЯЯ. Аналогично теореме 1.1 можно показать, что тахи(х,у) > О

достигается только на отрезке ВЕ, а именно в точке Е [31, с. 46]. Тогда в этой точке иу{С 0 — 0) > 0. Следовательно, в силу произвольности точки £ Є (О, 6] иу(х,0 — 0) = иу(х,0 + 0) > 0 на (0,6]. Аналогично доказывается, что существует промежуток (0, Ьі], 0 < Ь < 1, оси х = 0 такой, что их(0 — 0, у) = их(0 + 0,у) > 0 при всех у Є (0, &і]. С другой стороны, в силу леммы 1.2 на (0,6] оси у = 0 или на (0,6і] оси х = 0 найдется точка х' Є (0, 6) или у' Є (0, 6і) такая, что иу(х', 0) < 0 или их(0,у') < 0, что противоречит неравенству иу(х, 0) > 0 на (0,6] и и® (О, у) > 0 на (0, 6і]. Следовательно, точка £ Г.
Теорема 1.4. Пусть: 1) С(х,у) < 0 в Пі, Е(х,у) = 0 в Яі и Я2 и Яз; 2) тах|и(ж, у) — |я(<5)| > 0. Если, кроме этого, выполнено одно из следующих условий: а) коэффициенты уравнения (1-1) в областях Я2 и Я3 в характеристических координатах (£, у) удовлетворяют условию (А2), и(х,у) —регулярное из класса і?і(Я) решение уравнения (1-1), равное нулю на АС и АС і; б) коэффициенты уравнения (1-І) в областях Я2 и П> в характеристических <координатах (£;??) удовлетворяют условию (А), в области Яі условию 3) леммы
1.2, и(х, у) — регулярное из класса ЯО) решение уравнения (1-1), равное нулю на ВС и ВС, то максимум модуля |я(<2)| достигается на кривой Г.
Доказательство. Пусть тъхи(х,у) = |я((?)| > 0. В силу линей-