Автоволны и самоорганизация

• Автор: Харьков, Андрей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Сходство и различие плоских и

трехмерных волн

§1. Волновое уравнение на

окружности

§2. Волновое уравнение на

§3. Осцилляторы Гюйгенса, бегущие волны,

§4. Схема и результаты численного интегрирования волнового варианта
уравнения Ван-дер-Поля
§5. Заключение
Глава II. Некоторые прикладные аспекты динамики
волн в плоских областях
§6. Параметрический резонанс и нелинейные
волны в плоских областях
§7. Аттракторы сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия с крайней точкой
поворота в плоской области
§8. Аттракторы распределенной модели
реакции Белоусова
Итоговое заключение
Библиографический список использованной
литературы
Приложения

Введение
Последние тридцать лет активно развиваются различные аспекты автоволновых процессов. Условно установленные результаты можно разбить на три группы.
Первое направление связано с так называемым методом обратной задачи [1].
Второе направление возникло в биофизике и связано с системами типа реакция-диффузия. С прикладной точки зрения наиболее полно проблема исследована в работах [2]-[3]. Интересные экспериментальные исследования связаны с автоколебательной окислительно-восстановительной химической реакцией Белоусова [4]-[6].
Третье направление - исследование динамики нелинейных волновых уравнений при предположениях имеющие содержательный физический смысл. Относящиеся сюда некоторые результаты общего характера содержатся, например, в [7]-[8].
Вообще говоря, в каждом из последних двух направлений следует различать локальные методы анализа и специфические в каждой задаче нелокальные феномены. К настоящему времени локальный анализ, получивший название метода квазинормальных форм, в достаточной степени подробности позволяет получать существенную информацию о динамических особенностях многих важных задач [9]-[11], наводящих, кстати, на мысль, что может быть принципиально разной динамика на отрезке и в плоской области.
Собственно, последнему аспекту проблемы и посвящена данная работа. Ее основной вывод формируется просто: явление самоорганизации - главный составляющий элемент динамики автоволн в плоской области. Предварительно нужно уточ-

нить смысл понятия самоорганизации. Основной послужила статья [12], где изучено явление самоорганизации в одновидовом биоценозе. С математических позиций самоорганизация -это одновременно просто и сложно устроенные автоволны. В [12] в качестве их числовой характеристики взят уровень биомассы: на режимах самоорганизации он максимален. В рассматриваемых ниже режимах самоорганизации нелинейных волновых уравнений эквивалентной числовой характеристикой служит понятие энергии автоволны. При таком подходе совпадают в главном наши выводы и выводы статьи [12].
Во второй главе сначала излагаются результаты, связанные с явлением нелинейного параметрического резонанса волновых уравнений, т.е. продолжено начатое в [13]-[14] теоретическое исследование данного вопроса. Использование численных методов, позволяет проникнуть в суть нелокальных эффектов, характерных для всех рассматриваемых в работе задач. Затем в плоской области рассматривается задача хищник-жертва, что устраняет обнаруженный в [15] парадокс: явление буферности, столь характерное для отрезка, в двумерной области места не имеет - здесь реализуются иные феномены с понятной биологической сутью. Завершается глава анализом математической модели реакции Белоусова при учете диффузионного фактора [16]. Оказывается, что не имеют места якобы экспериментально наблюдаемые автоволно-вые процессы [4]-[5], но зато в точности наблюдается картинка, обнаруженная в экспериментах иностранных авторов (например, см. [б]).
В приложениях 1-5 приведены программы численных исследований. Для разработки использовалась среда Microsoft

В итоге получается, что конечномерное приближение уравнения (4.100) внешне записывается в том же виде:
11 + Ли)й + В2и = 0, (4.107)
где теперь
В2и = и + 2е1л(Ви + иО), (4.108)
ти = иМ^(4.109)
т.е. умножение матриц /(С/) и II производится поэлементно.
В дальнейшем данный способ перемножения матриц каждый раз будет оговариваться.
Условимся буквой г (в численных экспериментах т = 10_3) обозначать шаг по временной переменной.
Уравнение (4.107) проинтегрируем по времени в пределах от £ до £ + т. В силу (4.106), (4.107), (4.108) получаем
й (£+т)—й (£)+.Р(17 (£+г))—^(С/ (£))+^£?2([/ (£+т)+£/(£)) = 0,
(4.110)

= / /(й) * = “2е1У + о
а интеграл от 11(1) аппроксимируется при помощи метода трапеций. Последнее означает, что формула (4.110) получена с точностью до О (г3).
Равенство (4.110) проинтегрируем по временной переменной в тех же пределах, причем при вычислении интегралов воспользуемся методом трапеций. Убеждаемся, что с точностью до 0(т4) справедливо равенство
Щг + 2т) - 2£/(£ + т) + и{£) + Т-[Р(у(1 + 2т) - ^(С/(£))]+