Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами

• Автор: Боровикова, Марина Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 125 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Основные понятия

§1.1. Преобразование Фурье и его свойства

§1.2. Понятие вариационной производной

§1.3. Случайный процесс и его характеристики

§1.4. Детерминированное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами

Глава 2. Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными

2.2.1. Решение однородного дифференциального уравнения

первого порядка
2.2.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка
2.2.3. Решение дифференциального уравнения третьего порядка
§2.3. Нахождение математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2)
2.3.1. Переход к детерминированной задаче
2.3.2. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
2.3.3. Случай независимости случайного процесса /(£,ж, у)
от случайных процессов (7), £2), £з()
§2.4. Нахождение второй моментной функции
2.4.1. Переход к детерминированной задаче
2.4.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)
2.4.3. Случай независимых случайных процессов

§2.5. Нахождение дисперсионной функции
2.5.1. Дисперсионная функция в общем случае
2.5.2. Случай независимости процесса /(£, ацу) от еДй), ег2(*), £з(*)
§2.6. Вторая смешанная моментная функция
§2.7. Моментные функции А;-го порядка
Глава 3. Частные случаи
§3.1. Случай равномерно распределенных случайных коэффициентов теплопроводности
3.1.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
3.1.2. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями
§3.2. Случай нормально распределенных случайных коэффициентов теплопроводности
3.2.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.3. Вторая смешанная моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.4. Дисперсионная функция решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.5. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями
§3.3. Случай пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов теплопроводности
3.3.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.
Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.
Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль.
По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14].
Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач.
В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В.И. [36, 37], Фурсикова A.B. [51 -53], Смагиной Т.П. [34], Строевой JI.H. [30, 31, 46].
Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процес-

7. Преобразование Фурье свертки. Пусть / £ 5", д - финитная обобщенная функция. Тогда [16, с. 131]
Н/*9Ш = ПШГ[9](е). (1.17)
8. Преобразование Фурье от многочлена. Пусть / € 5', тогда [55, с.
149]

9. Обратное преобразование Фурье произведения [15, с. 133].
_1[/(0 д{Шх) = _1[/(0Кж) * (1-19)
Приведем примеры вычисления преобразования Фурье некоторых функций.

Е[ф - я?0)](О = е’Хо). (1.20)
2. Полагая в (1.20) х$ = 0, получим [16, с. 128]
Е[5] = 1, (1.21)
откуда
5 = Е”1]!]
1 ] (2тг)га 1 ”
так что
Е[1](£) = (2*)“*(е). (1.22)
3. В одномерном случае имеет место равенство [16, с. 132]
Р[е-Л,)(5) = ехр(-А) (1.23)

4. В многомерном случае пусть квадратичная форма

(Ох, х), А - (П) ),