Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа

• Автор: Сагадеева, Минзиля Алмасовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 120 с.

Обозначения и соглашения

1 Разрешимость линейных уравнений

соболевского типа

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно р-радиальный оператор

1.3 Относительно р-секториальный оператор

1.4 Относительно спектральная теорема

1.5 Относительно спектрально ограниченный оператор

1.6 Относительно спектрально ограниченная

оператор-функция

1.7 Существование решений нестационарных уравнений

соболевского типа
1.8 Нестационарная задача теории фильтрации
2 Экспоненциальные дихотомии и ограниченные
решения уравнений соболевского типа
2.1 Экспоненциальные дихотомии решений
2.2 Аппроксимации функции Грина
2.3 Функция Грина
2.4 Условия существования ограниченных решений
2.5 Один класс нестационарных уравнений
2.6 Периодические решения уравнений
с сскторильным оператором
2.7 Периодические решения уравнений соболевского типа
с относительно секториальным оператором

3 Исследование устойчивости решений некоторых
систем уравнений в частных производных
3.1 Функциональные пространства
> и дифференциальные операторы
3.2 Линеаризованная система уравнений фазового поля
3.3 Уравнение с эллиптическим оператором
высокого порядка
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита, кроме:
N — множество натуральных чисел;
N0 = NU{0};
Е — множество действительных чисел;
Е+ = {а е Е : а > 0};
1+ = Е+ U {0};
С — множество комплексных чисел;
Lp(Q) — пространства Лебега;
Wlp{Q) — пространства Соболева и т.д.
2. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского и греческого алфавитов, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
3. Область определения оператора А обозначается через dom Л, его ядро — через ker А, образ — через im Л, линейная оболочка множества Л — через эрапЛ.
4. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:
£(11;#) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве 11 и действующих в пространство 5, £(И,Н) =£(Ц);
С1(И; 3") — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве И и действующих в пространство Cl(U;tt)=Cl(U).

Таким образом уравнение (1.7.2) мы можем представить в виде системы двух уравнений
№=Tt№ + Qtg{t), (1.7.4)
О = u°(t) + Mt-01(I-Qt)g(t) (1.7.5)
на подпространствах У1 и 11° соответственно. Решение задачи Коши
/(£(,) = /о G З"1 для уравнения (1.7.4) согласно [14, с. 138-153] имеет вид

/(г) = F(t)F~1{t0)f0 + I F{t)F-r)QTg{r)dT.

Как видно из приведенных выше рассуждений, Ptu(t) — а
/о = LtçhiPtou0, поэтому

Ptu(t) = L;jF(t)F-t0)Lto!lPtou0 + I LttlF{t)F-r)L-QTg{r)dT.
Функция и°(г) = —MiT01(/ — Qt)g(t) является непрерывно дифференцируемой в силу теоремы 1.6.2 (ii) и разрешает уравнение (1.7.5). Следовательно, (1.7.3) является решением задачи (1.6.1), (1.7.2). •
1.8. Нестационарная задача теории фильтрации
Пусть С К" - ограниченная область с границей 8Q класса С°°. В цилиндре Г2 х 3 рассмотрим задачу Коши-Дирихле
и(х, 0) = щ(х), х £ (1.8.1)
•u(æ,t) = 0, (x,t)edQxZ (1.8.2)
для уравнения
(Л - A)ut{x,t) imij(x,t)— j u(x,t) + g(x,t), (x,t) e Q x
2,^ = 1
(1.8.3)
где Л G R, вещественные функции rriij(x,t) таковы, ЧТО rriij(x,t) = m,ji(x,t). Подобный вид имеют многие уравнения теории фильтрации
[1/ [П], [17], [19].