К L р-теории задачи обтекания для стационарной и нестационарной систем Стокса

• Автор: Кузнецов, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Глава I. Решение стационарной задачи обтекания в постановке Стокса в пространствах Гр(П)
1.1. Постановка задачи и основные определения
1.2. Построение решения первой краевой задачи
для однородной системы Стокса во внешности круга
1.3. Априорные оценки и разрешимость задачи

обтекания в пространстве 7^ (П) х Сгр(О)
для произвольной правой части из Ьр(0)
1.4. Размерность ядра дифференциального оператора
Глава II. Решение нестационарной задачи обтекания в постановке Стокса
2.1. Постановка задачи и основные определения
2.2. Построение решения начально-краевой задачи для однородной нестационарной
системы Стокса во внешности круга
2.3. Априорные оценки и разрешимость начально-краевой задачи обтекания

в пространствах JPtXt (<3т) х С'р(<5г)
для произвольной правой части из Ьр(С}т)
Литература
Список обозначений

Актуальность темы. В диссертации изучаются задачи обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в постановке Стокса в £р-прост-ранствах с полунормой в стационарном и нестационарном случаях. Задачи обтекания тел являются одним из главных объектов исследования в математической гидродинамике. В работе строится Др-теория, 1 < р < оо, решений систем Стокса и Навье-С'токса путем отбрасывания конвективного члена. В широко известной статье Агмона-Дуглиса-Ниренберга [28] была построена общая теория краевых задач для систем уравнений, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу в пространствах Ц/1р с полной нормой, а не в Ь1р с соответствующей полунормой, вследствие чего случай неограниченных областей с различным поведением решений на бесконечности остался по существу не рассмотренным. Заметим, что стационарная система Стокса является эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. В задачах же гидродинамики важно рассмотреть различные течения при |ж| —> оо. Отметим, что классические решения и гильбертов случай при р = 2 были изучены в работах Б.В. Русанова [24], Чанг И Де, Р. Финна [29], Р. Финна [30], Р. Финна, В. Нолла [31] и других.
Настоящая работа в основном посвящена рассмотрению случая двух пространственных переменных, хотя некоторые результаты, как теоремы существования, единственности и априорные оценки получены для любого числа га ^ 2 пространственных переменных. Построение же явных общих решений однородных задач обтекания бесконечного кругового цилиндра как в стационарном, так и в нестационарном случаях проведено при п — 2. Случай стационарного обтекания трехмерных тел, и, в частности, трехмерного шара, был изучен в работах В.Н. Масленниковой и М.А. Тимошина [20], [21], [22]. Задачи обтекания в постановке Стокса в Ьр пространствах с заданными условиями на бесконечности в пространствах с полной нормой исследовались также в работе Т.П. Галди,
Х.Г. Симадера [32] и других работах, ссылки на которые приведены в работе данных авторов.
Цель работы состоит в построении явных общих решений обтекания кругового бесконечного цилиндра в М3 с сечением, являющимся кругом Б в К.2, как для стационарной, так и для нестационарной систем Стокса; нахождении размерности ядра порождаемых задачами операторов в функциональных пространствах с полунормой. Задачей, поставленной в работе, является также построение Ьр теории обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в пространствах Соболева с полунормой, т. е. доказательство теорем существования решений, а там, где размерность ядра соответствующего оператора равна нулю, доказательство и теоремы единственности в тех лее классах, в которых доказывается теорема существования; получение нужных априорных оценок.
Методы исследования. Для получения априорных оценок используются метод локализации, связанный с разбиением единицы, теоремы об Бр-мультипликаторах преобразования Фурье и неравенства Харди. На основании полученных априорных оценок методами функционального анализа доказывается конечномерность ядра и замкнутость области значений порождаемого задачей оператора в стационарном случае. В нестационарном случае разрешимость задачи доказывается с помощью теоремы о разложении Ьр в прямую сумму потенциальных и соленоидальных векторных полей для внешних областей. Для получения общего решения однородных задач используются ряды Фурье и, в нестационарном случае, преобразование Лапласа.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. В стационарной задаче обтекания нескольких тел потоком вязкой жидкости в постановке Стокса решение изучается в функциональных пространствах: поле скоростей ь(х) 6 Бр(П) с соответствующей полунормой, градиент давления Уд(ж) £ Бр(Д), 1 < р < ос, где О,

для любого а: |«| = 2. Таким образом, и[х) єсть многочлен 1-ой степени. Но ввиду граничного условия = 0 он может быть только нулем, что противоречит (1.83). Таким образом, неравенство (1.82) доказано.
Докажем, что из всякой последовательности {-{V, элементов
{тД У^} ядра равномерно ограниченной по норме (1.81), т. е. такой, что
ИК'^}||. ^ Д < оо 1 = 1,2 (1.84)
где постоянная А > 0 не зависит от 3, можно выбрать подпоследовательность {{уй, У^*.}}^!, фундаментальную в той же норме.
Для этого заметим, что в силу априорной оценки (1.64) всякий эле-мент {ці, У ([]} j — 1,2,... ядра N а удовлетворяет неравенству
с Е Нв"»'!1мя) + ІІ^аІІмо) « сІІЄ||і,(й«) (1.85)
|а|
с постоянной с > 0, не зависящей от V* иУ^.
Если обозначить через сужение г7 на область Г2д, то, очевидно, в рассматриваемом случае и последовательность будет равномерно ограничена по норме Ьг($1д) той же постоянной А.
В силу (1.82) норма ||^д||ь2(пл) эквивалентна норме || ■ ||и^(Пд) на множестве векторных полей V таких, что V Є Др(Дд) и и|^ = 0. Значит, последовательность векторных полей ограниченная по норме
(1.81), будет ограничена и по норме Но Т^(Пд) компактно вкладывается в Др(Нд). Значит, найдется подпоследовательность фундаментальная в Ьр(Пд). Тогда согласно (1.84) и (1.85) можно выбрать подпоследовательность
{{»*. ?«*}}“=., С {{е.Уд,}}“,,
фундаментальную в норме || ■ || •
Д>,П
Теорема 6 доказана. □