Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями

• Автор: Головина, Анастасия Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 116 с.

Оглавление
Введение
1 Примеры

1.1 Примеры невозмущённых операторов

1.2 Примеры весовых функций

1.3 Примеры возмущающих операторов

1.4 Применение главных результатов к классическому примеру

2 Резольвента и сходимость спектра

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Равномерная резольвентная сходимость

2.3 Существенный спектр

2.4 Сходимость спектра
3 Собственные значения и собственные функции - случай простого предельного собственного значения
3.1 Редукция уравнения на собственные значения
3.2 Ряды для возмущённых собственного значения и собственной функции
4 Собственные значения и собственные функции - случай двукратного предельного собственного значения
4.1 Редукция уравнения на собственные значения >

4.2 Ряды для возмущённых собственных значений и собственных функций
4.3 Случай произвольной кратности предельного собственного значения
Литература

Введение
Классическим примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двойной потенциальной ямой
где V, У - вещественные финитные измеримые потенциалы, I - большой положительный параметр. При I —» оо носители потенциалов оператора Не находятся на большом расстоянии друг от друга (см. рис.1). Именно этим объясняется термин “разбегающиеся возмущения”.
Операторы с разбегающимися возмущениями рассматривались разными авторами (см., например, [19], [20], [22] - [25], [27], [28], [32], [33] -[36], [38] - [50]). Основное внимание уделялось изучению асимптотического поведения резольвенты, а также собственных значений и собственных функций как в случае простого, так и в случае кратного предельного собственного значения. При этом достаточно большое количество работ посвящено изучению собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, возмущённого потенциалами в случае простого предельного собственного значения (см., например, [19], [20], [27], [35], [39], [41], [45], [48]). Исследования асимптотического поведения собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами в случае кратного предельного собственного значения проводились в работах [32], [33], [38]. Резольвента оператора Лапласа с несколькими разбегающими потенциалами исследовалась в работе [22], книге [28, Гл. 8, §8.6] и статье [43]. Имеется также ряд ра-
в £2(И), (0.0.1)

В — (В, В2, Вз) - магнитное поле, порождённое магнитным потенциалом В = (0,0, ~ , если (1 = 2,
дх 8x2 /
В = го^Аь А2,Аз), если с1 = 3.
Данный оператор получается из оператора (1.1.1), если положить <1 =
или <1 = 3, п — 2, ау — <5уЕг, Д = 21АгЕ2, где Е2 - единичная матрица

размера 2x2, А = (А1(..., АД, Ь0 = V + |А|2 4- 1X] #• + В3сг3 в случае

(1 = 2, Ь0 = V + |А|2 + I ]Г) + В<7 + В2сг2 + В3(Тз в случае й = 3."

6.5 — потенциал. Ещё одним примером оператора Но является 5 - потенциал. Рассмотрим в пространстве ориентированное периодическое многообразие Б без края. Будем предполагать, что данное многообразие имеет коразмерность один и класс гладкости С3. Пусть Р - некоторая достаточно гладкая комплекснозначная функция, заданная на Б. Определим в пространстве ХДПф С”) оператор
Пэ := - + Р6(х - Б), (Г.1.2)
гр=1 ‘ г
действующий следующим образом:
^ д д
Ч8и{х) = - — ац(х)— «(ж), ж 0 Д
г 0=1 г ‘
на функциях и 6 5; С71) П С"), удовлетворяющих усло-

и(з + 0) — и(з — 0) = и(э),

= Ри(в), а Е Б,

где «(в 4- 0), и{в — 0) - значения функции н на каждой из сторон ориентированного многообразия Б, [^] - скачок производной по конормали в точке в Е Б. Предполагается, что коэффициенты ау оператора (1.1.2)