Асимптотика по малому параметру решения возмущенной задачи о распаде разрыва

• Автор: Рассказов, Игорь Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 99 с.

1 Системы квазилинейных уравнений. Обобщенные решения. Пример построения асимптотик
1.1 Инварианты Римана. Характеристики
1.2 Консервативные системы. Обобщенные решения. Условия на разрывах
1.3 Задача о распаде разрыва
1.4 Асимптотические последовательности и ряды
1.5 Построение асимптотики обобщенных решений
уравнения Хопфа
2 Построение асимптотики решения задачи о распаде разрыва в случае отсутствия ударных волн
2.1 Постановка задачи
2.2 Построение асимптотики классического решения
2.3 Обоснование асимптотики классического
решения
2.4 Асимптотика границ области определенности
классического решения
2.5 Построение асимптотики решения в волне
разрежения
2.6 Обоснование асимптотики решения задачи Гурса
2.7 Асимптотика границ волны разрежения
2.8 Обоснование асимптотики границ воли
разрежения
2.9 Построение асимптотики между двумя волнами разрежения
2.10 Обоснование асимптотики между двумя волнами разрежения
3 Построение асимптотики решения задачи о распаде разрыва в случае образования ударных волн
3.1 Постановка задачи
3.2 Предварительные сведения

3.3 Асимптотика решения в случае образования одной ударной волны
3.4 Обоснование асимптотики в случае образования одной ударной волны
3.5 Построение асимптотики в случае образования
двух ударных волн
3.6 Достаточные условия

Изучение свойств нелинейных уравнений и методов их решения представляет собой быстро развивающуюся область современной теории диф-ференциальиых уравнений. Одним из важных направлений является теория гиперболических систем квазилинейных уравнений. Это связано, в частности, с большим количеством приложений, которые находят гиперболические системы квазилинейных уравнений в практических и теоретических задачах (см., например, [29], [32], [34], [5], [13], [14]).
При исследовании гиперболических систем особое внимание уделяется негладким (разрывным) решениям, которые называются обобщенными. Чаще всего такие решения вводятся для уравнений, являющихся следствием некоторых интегральных законов сохранения (см. [29], Гл. 4). Именно такого типа задача рассматривается в предлагаемой диссертации.
Основным объектом исследования в настоящей работе являются обобщенные решения задачи о распаде разрыва для гиперболической системы двух квазилинейных уравнений с возмущением:
^ = £/к{иих,Ь), к =1,2, 0 < £ << 1,
щ(ж,0)
Фк,о(Ж) + £Фкл(Х) + е2Фк,2^) + • • • > ~а < Ж < О,
ФкАх)+£ФкЛх)+£2фЫх) + • • • > 0 < * <аВозмущение здесь задано членами с множителем £, где е — малый параметр. Ставится задача детально исследовать влияние таких малых возмущений на обобщенное решение. Под детальным исследованием здесь имеется в виду построение полной асимптотики при £ —> 0 для обобщенного решения в области его непрерывности, построение полной асимптотики положения линий сильного и слабого разрывов с указанием алгоритма построения всех членов асимптотических рядов.
Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы теории возмущений. Литература, посвященная уравнениям с малым
є*сгЦг),і
<і(0 + • • • •
2.5 Построение асимптотики решения в волне разрежения.
Постановка задачи.
В предыдущих пунктах была построена и обоснована асимптотика классического решения возмущенной задачи Коши (2.3). В рассматриваемой конфигурации (в обобщенном решении отсутствуют ударные волны ) обобщенное решение содержит пару волн разрежения, согласованных по непрерывности на линиях х — гг,£,е) с классическим решением задачи (2.3).
Построим асимптотику решения внутри таких волн разрежения. А именно, требуется построить асимптотику по малому параметру решения возмущенной системы уравнений
которое удовлетворяло бы следующим условиям:
1) на линии х = сг|(^е) (индекс г фиксирован) решение щ(х, £,е) принимает заданные значения:
где и(х,і,є) — классическое решение задачи (2.3).
2) функция щ{х, Ь,є) имеет особенность в начале координат типа автомодельной волны разрежения:
(2.22)
ик{о(і,є),і,є) = игк(аІ(і,є),і,є), к = 1,2, (2.23)
а — свободный параметр.