Вариационная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области

• Автор: Куджмуродов, Абдулло Ёкубович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями
1.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств ТДа(0)
1.2 Некоторые неравенства для произведения элементов пространства 1Да(е)
1.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями
2 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями
2.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств НТДП)
2.2 Оценки норм произведения производных двух функций
- 2.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями
3 О гладкости решения вариационных задач Дирихле для
вырождающихся эллиптических уравнений
3.1 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для общих эллиптических уравнений с вырождением
3.2 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме
3.3 О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в дивергентной форме

Введение
Диссертационная'работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области n-мерного евклидова пространства Rn и изучению дифференциальных свойств ее решений.
Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является одним из бурно развивающихся областей теории дифференциальных уравнений. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют многообразные способы вырождения, которые требуют применение соответствующих разных методов и в настоящее время ие существует единой теории, которая охватывала бы всех результатов этого направления.
Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.). Первый результат типа теорем вложения для весовых пространств функций многих переменных был получен в 1938 г. в работе
В.И.Кондрашова [26]. Систематическое изучение весовых пространств с весом, равным расстоянию до границы области в положительной степени, а так же их приложения к решению краевых задач для вырождающихся на границе ограниченной области эллиптических дифференциальных уравнений, впервые было проведено в монографии JI.Д.Кудрявцева [27]. Обзор работ и подробная библиография по весовым функциональным пространствам содержатся в монографиях С.М.Никольского [46], Х.Трибеля [52, 53] и статьях О.В.Бесова, Л.Д.Кудрявцева, П.И.Лизоркина, С.М.Никольского
[6], Л.Д.Кудрявцева, С.М.Никольского [31].
Достаточно полный обзор полученных результатов в теории краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений содержится в работах В.П.Глушко, Ю.Б.Савченко [17], С.З.Левендорского, Б.П.Панеях [33], С.М.Никольского, П.И.Лизоркина,Н.В.Мирошина [47], O.A.Олейника, ЕВ.Радкевича [48], М.М.Смирнова [49], С.А.Терсенова [51],

Х.Трибеля [52] и С.В.Успенского, Г.В.Демиденко, В.Г.Перепелкина [54]. Наши исследования в основном примыкают к исследованиям, проведенным в работах Б.Л.Байдельдинова [1, 2], К.Х.Бойматова [7] - [12], К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [13, 14], А.А.Башарина [15], А.А.Башарина, П.И.Лизоркина [16], С.А.Исхокова [18] - [23], С.А.Исхокова, Г.И.Тарасовой [25], С.А.Исхокова, Г.И.Сивцевой [24], Л.Д.Кудрявцева [27] - [30], П.И.Лизоркина [34], П.И.Лизоркина, С.М.Никольского [30, 37], П.И.Лизоркина,
Н.В.Мирошина [35], Н.В.Мирошина [44] - [42].
В указанных выше работах, в которых рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения в ограниченной области гг-мерного евклидова пространства, коэффициенты дифференциальных операторов имели форму произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы области. В отличие от этого, в настоящей диссертационной работе, мы предполагаем, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым Ьр - пространствам. Предварительно доказаны теоремы вложения разных метрик для соответствующих весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и установлены некоторые оценки для норм произведения элементов из этих пространств.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий - на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.
Везде в диссертации Г2 - ограниченная области в 7?п, граница которой является замкнутым п — 1-мерным многообразием <ЭГ2; р(х) - регуляри-зованное расстояние точки х € 12 до дО,; г - натуральное, а,р - вещественные числа, причем 1 < р < +оо; к = (к, кч, , кп) - мультииндекс, к — к + кч + + кп - длина мультииндекса к и
Лк)(„ _ ди(х)
и™{х)
дхх дх2 дхпп
Символом Со°(12) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в Г2 функций. Если В - некоторое нормированное пространство,

содержащее Со°(12), то через В обозначено замыкание множества в норме пространства В. Как обычно символом В”(дП) обозначен класс функций О.В. Бесова, заданные на дП (определение Вр{д£1) см., например, в [4] или [52]).

Отсюда и из (1.1.38) следует, что
у;,а№
Теорема 1.1.3 доказана.
Замечание 1.1.1. Результат, сформулированный в теореме 1.1.2, ранее был известен (см., например, теорему 1.2.6 работы [47], которую сформулирована без доказательства). Его подробное доказательство приведено в диссертации, с целью выделения основных моментов доказательства теоремы 1.1.3.
1.2 Некоторые неравенства для произведения элементов пространства Ф;а(П)
В этом параграфе мы докажем некоторые неравенства для норм произведения производных двух функций, каждая из которых принадлежит пространству типа 1!а(Г2). Начнем с самого простого неравенства такого типа, которое является обобщением неравенства Гельдера
Лемма 1.2.1 Пусть ро, до > 1 и 1
Ро Яо
неравенство
1До / 1/ро / 1/90
140 дх
I м*)„(,)|МП <1/м*г<И (/И*)1‘
кп / п / п
где число Ао определяется из следующего равенства
(1.2.1)
1 = 1 + 1. (1.2.2)
Ао Ро Яо
Доказательство. Рассмотрим числа Р = С} — ~ Из условии
Ао Ао
(1.2.2) следует, что