Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного вида

• Автор: Плужникова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 94 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обозначения

Глава 1. Векторные накрывающие отображения метрических пространств

§1.1. Липшицевы возмущения векторных накрывающих

отображений

§ 1.2. Корректная разрешимость систем операторных

уравнений с накрывающими отображениями

§1.3. Накрывающие отображения в функциональных

пространствах

Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения,

не разрешенные относительно производной
§2.1. Задача Коши
§ 2.2. Краевая задача
§ 2.3. Управляемые дифференциальные системы
со смешанными ограничениями на управление
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию задачи Коши, краевых задач и задач управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений неявного вида. Используются методы, основанные на полученных в работе утверждениях о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений метрических пространств и признаках накрывания оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций.
Математический аппарат классической теории нелинейных дифференциальных уравнений явного вида, позволяющий исследовать многочисленные нелинейные модели явлений, процессов различной природы, давно создан, широко и эффективно применяется. Гораздо большие сложности представляет ситуация, когда при математическом описании необходимо учитывать зависимость параметров модели от скорости изменения состояния объектов. В этом случае модель представляет собой нелинейные дифференциальные уравнения неявного вида (не разрешенные относительно производной). Примерами таких задач являются неголономные механические системы [26], модели электрического колебательного контура [3, с. 145, 148].
Основным методом исследования дифференциальных уравнений неявного вида является использование теорем о неявных функциях. Однако, эти теоремы не применимы в случае, если по соответствующему аргументу порождающая дифференциальное уравнение функция не является гладкой, или ее производная вырождена. Разрешая такое уравнение относительно производной, можно свести его к дифференциальному включению, однако получаемое многозначное отображение часто не обладает свойства-

ми, позволяющими применять классические утверждения о дифференциальных включениях. В литературе практически отсутствуют методы исследования ряда важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений неявного вида, в том числе рассмотренных в диссертации краевых задач, систем управления. Новые возможности изучения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, мы связываем с интенсивно развивающейся в последнее время теорией накрывающих отображений.
Первые работы, посвященные накрывающим (метрически регулярным) отображениям, датируются 60-70 годами 20 века. Исследовались накрывающие отображения, действующие в банаховых пространствах. Эти результаты нашли приложения в теории оптимизации (теорема Милютина о накры-вании использовалась в доказательстве принципа Лагранжа для гладких задач с ограничениями в виде равенств и неравенств [11, с. 220-231]). Теория накрывающих отображений получила развитие в работах Е.Р. Авакова, A.B. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, A.B. Дмитрука, А.Д. Иоффе, A.A. Милютина, Б.Ш. Мордуховича, В.В. Обуховского, Н.П. Осмоловского, Т.Н. Фоменко и других [1, 4, 5, 12, 36, 38, 42, 43]. Последние несколько лет отмечается новый всплеск интереса исследователей к накрывающим отображениям и их приложениям, которому во многом способствовали работы A.B. Арутюнова [4, 5], предложившего распространение понятия накры-вания на отображения метрических пространств и исследовавшего точки совпадения накрывающего и липшицева отображений (не только однозначных, но и многозначных).
Новые приложения теории накрывающих отображений к исследованию дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений и включе-
(С1) для любой последовательности {■и*} С X из соотношений ик —¥ и, Ф(ик,и) —¥ у следует равенство Ф(и, и) — у.
Тогда для любого и0 & X существует решение х = £ € X уравнения (1.1.14), удовлетворяющее оценке рх(£,и°) ^ (а — /3)~гру(у, Ф(и°,и0)). Если, кроме того, при любом Х2 € X отображение Ф(-,Х2) : X —> У является сюръективным, а условие (С1) выполнено для любого у е У, то отображение .Р(х) = Ф(т, х), Е : X -4 У будет (а — /3) -накрывающим.
В данном случае матрицы А, В, С содержат только по одному элементу А = (а), В = (/?), С = (а-1/?). Поэтому С = д(С) = а~г/3 < 1. Из доказательства теоремы 1.1.1 следует оценка
Рх(£,и°) < (1 - Су1А~1ру(у,Ф{и0,иа)).
В рассматриваемой ситуации получаем неравенство
Рх(С,и°) < (1 -а-1^)-1а~1ру{у,Ф{и°,и0)),
откуда находим константу накрывания, равную а — /3.
Пусть, теперь, заданы отображения Фх : Х хХ2 —> Ух, Фг : Х х Х2 —У
Уг, элементы у € Ух, у2 € У2- Рассмотрим систему двух уравнений с
двумя неизвестными
/Ф'(Х1'Х2)=Й’ (1.1.15)
[ФгОсьаъ) = 2/2 •
Справедливо следующее утверждение.
Следствие 1.1.2. Пусть метрические пространства Х, Х2 являются полными, существуют неотрицательные числа «х, а2, (3, @2, удовлетворяющие неравенству
ацаг > /?х/?2- (1.1.16)