Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением

• Автор: Попов, Владимир Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Разностные операторы

1.1. Геометрические построения

1.2. Разностные операторы

1.3. Разностные операторы с нетривиальным ядром

2. Разрешимость эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением

2.1. Априорные оценки решений

2.2. Фридрихсово расширение

2.3. Спектральные свойства

3. Гладкость обобщенных решений

3.1. Внутренняя гладкость обобщенных решений в подобластях
3.2. Гладкость обобщенных решений вблизи границ подобластей

Введение
Введение
1. В настоящей диссертации изучаются дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Наличие разностных операторов приводит к тому, что подобные уравнения относятся к нелокальным задачам.
Интерес к нелокальным задачам объясняется значительными теоретическими достижениями в данном направлении, а также важными приложениями, возникающими в теории плазмы [1], биофизики, теории диффузионных процессов [65, 66], теории многослойных пластин и оболочек [31,77].
Нелокальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались в работах А. Зоммерфельда, Я.Д. Тамаркина, М. Пиконе, А.М. Кролла и др.
В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике D = {х G М2 : — I < Х < I, 0 < ад < 1}

и непрерывная в D функция и(х, х2), удовлетворяющая условиям и(XI, 0) = и(хъ 1) = ip2(xi), -l < Xi < l,
u(-l, X2) = <Рз(Х2), u{l, x2) = u(0, x2), о < x2 < 1, где ip2, — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе [1], оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная [43,71].
Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Жи-тарашу и С.Д. Эйдельмана [13], Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля [41], A.B. Бицадзе [2], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [16], К.Ю. Кишкиса [20], А.К. Гущина и В.П. Михайлова [10,11] и др.
Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах
A. JI. Скубачевского и его учеников [8,9,32,50,52-55,58,59,68-70,75,77]. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функциональнодифференциальных уравнений впервые построена в работах А.Л. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А. Л. Скубачев-ский [44,77], Л. Е. Россовский [42], Р. В. Шамин [56,57], Гуревич П.Л. [67] E. М. Варфоломеев [3] и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс

(81. Определим вектор-функцию ¥к € С00'1 (В$(хк)) с координатами
Угк{х) = (<рки)(х + гкг - гк) (ж € В5{гк)), (2.27)
где г = 1
деляются по правилу, описанному в начале параграфа. Матрицы А1]8(х) могут иметь различный порядок в различных точках х 6 В$(гк). Поэтому мы рассмотрим вспомогательные матрицы Ак]3 порядка /(я, г ) х 7(в, гк), определённые по формуле Ак3 = Аг]В(г ). Введем преобразование Фурье вектор-функции IV по формуле
ИД£) = (2тг)-п/2 [ е_‘(г*й1У(х) йх.

Теперь, используя теорему Планшереля, условие 2.1 и лемму 1.16, мы имеем
п 3 п ]
(ВгО (**«)„ > м,,)ш -ЕЕ
1=1 к=1 1=1 к—1 2К
-ЕЕ/фТф, <
1 А
«ЕЕ/(мРисАф,
г,,3=1 /с
= ЁЕ (адЭДдтддидф
1=1 к