Исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия для гидродинамических моделей переноса зарядов в полупроводниках

• Автор: Бушманова, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 135 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Исследование устойчивости состояния равновесия для гидродинамических моделей переноса заряда в полу проводниках.
§1. Постановка задач
§2. Линеаризация задач (1.3)—(1.7) и (1.17)—(1.21). Введение упро-
щенной газодинамической задачи. Формулировка основных результатов
§3. Доказательство теорем
§4. Доказательство теорем
§5. Доказательство теоремы
Глава 2. Существование и единственность состояния равновесия для гидродинамических моделей переноса зарядов в полупроводниках.
§1. Обобщенное решение задачи
§2. Случай непрерывного сглаживания
§3. Случай гладкой функции плотности легирования
§4. Доказательство теоремы существования и единственности. Пример
Глава 3. Применение обобщенной матрицы Грина для нахождения численного стационарного решения гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках.
§1. Задача о баллистическом диоде в стационарном случае. 118 §2. Обобщенная матрица Грина
§3. Исследование нелинейной задачи
Литература
Введение
Математическое моделирование физических явлений в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы (компоненты интегральных схем) столь малых размеров, анализ и проектирование которых с помощью упрощенных аналитических моделей становится затруднительным. Это связано с тем, что традиционные упрощающие предположения, положенные в основу таких моделей, могут существенно нарушаться в современных компонентах интегральных схем.
Полупроводниковые устройства описываются посредством уравнения переноса Больцмана. А именно, электронная функция распределения / = /(£, х, у) удовлетворяет уравнению
% + - —еМ- = $(/), * > о, X € Д3, * € Я3. (1)
Ot ОХг т* ОУг
Здесь постоянная д - заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е - электрическое поле, <5 - оператор Больцмана, который учитывает взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, ’’легких” и ’’тяжелых” дырок и т.п.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно, будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких типов. При этом в правой части (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.
Для решения уравнения типа (1) предлагается много различных методов, из которых самый распространенный — метод Монте-Карло. Однако прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках требует тяжелых и довольно неоправданных вычислительных затрат.

Приемлемая точность может быть достигнута при решении уравнений переноса, полученных для моментов уравнения Больцмана, таких как
п($,х) = $ }{Ь, х, у) йь, тш(£, х) = / х, у) с1у,
пе(£, х) = } у/(£, х, у) йу
и так далее. Здесь п - концентрация, и - средняя скорость, е - внутренняя энергия носителей.
Простейший набор уравнений моментов - это хорошо известная дрейф-диффузионная модель. Классическая дрейф-диффузионная модель физики полупроводников была предложена в 1949-50 годах БсЬоск-1еу [1] и уап ПоовЬгоеск’ом [2] и содержала уравнение Пуассона для потенциала электрического поля <р(х,£)
Д<Р = (р- п + Л - 1) (2)
и уравнения неразрывности для носителей заряда р(х,Ь) - кон-
центрации электронов и дырок)
— V ]п — Я(р,п),
Ц-у р = щР,п),
где векторы плотности электронного и дырочного токов:
4 *— р„пУ,
Зр — р -}- Црр7ср.
Здесь - £>„, Пр коэффициенты диффузии, а рр - подвижности электронов и дырок; q - величина заряда электрона, во - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована донорной и акцепторной примесями с концентрациями Л(ж) и Ма(х). А также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью Л(р, п).
Надо сказать, что дрейф-диффузионная модель используется в основной массе моделирующих программ для электронных устройств и

С учетом этого из третьего уравнения системы (2.22) получаем:
Рг{т, 0) + иР(т, 0) = 0,
Рт(г, 1) + 1/Р(г, 1) = 0,
то есть
р(г,0) = е—Ро(0),
ГП(1).
Таким образом, условие Р(г, 1) = 0 выполнено, если Р0(1) = 0 (что мы и будем далее предполагать).
Заметим также, что граничное условие Р(т,0) = 0 автоматически выполнено, если начальная функция такова, что
Ро(0) - 0.
(2.28)
У задачи (2.22)—(2.25) есть следующее стационарное решение (состояние равновесия) при В — 0:
;(г, в) = ; = 0,
Р(т, *) = Р = 0,
Щт,з) = &(з),
<р(т,8) = <р(з)
(относительно функций Р(й), <р(з) — см. выше).
Теорема 5 Если параметры р, и, /3 таковы, что
(2.29)

#1>S’ "У’
г<9е к - положительная постоянная из неравенства
> А.
Если, кроме того, начальные данные (2.25) принадлежат пространству И7!(0> 1) и удовлетворяют условиям (2.26), (2.27), а также условию
/ [Р„2 + з1 + (Л - До)2 + Д2 + Й2 + (Л' - л;)2] < М