Групповая классификация и точные решения уравнений двух моделей гидродинамики

• Автор: Степанова, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Групповые свойства уравнений двумерного турбулентного пограничного слоя
1.1 Описание системы уравнений
1.2 Определяющие уравнения
1.3 Групповая классификация системы (1.4)
1.4 Групповая классификация уравнений стационарного турбулентного пограничного слоя
1.5 Построение фактор-систем и инвариантных решений
1.6 Об одном стационарном автомодельном решении
1.7 Приложение
Глава 2. Групповая классификация и некоторые точные решения уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести
2.1 Описание системы уравнений
2.2 Решение определяющих уравнений
2.3 Групповая классификация системы (2.3)
2.4 Построение инвариантных подмоделей и их интегрирование
2.5 Физическая интерпретация некоторых решений
2.6 Приложение
Заключение
Литература

Введение
Современный этап развития науки характеризуется стремлением к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение приобретают фундаментальные свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение.
К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрийный принцип в различных отраслях науки и объединять общим подходом казалось бы совершенно разные направления научных исследований.
Использование симметрийного подхода в теории дифференциальных уравнений позволяет значительно разнообразить и дополнить существующий набор традиционных методов их исследования и, тем самым, получить о них качественно новую информацию. Таким образом, с одной стороны, проблема изучения дифференциальных уравнений может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли, взгляды на дифференциальные уравнения стали развиваться в новых направлениях. Предметом интереса стала структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью операций дифференцирования и продолжения. Важно отметить, что методы, направленные на проведение качественных исследований уравнений, т. е. аналитические методы, по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориенти-

рованы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравнении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса, моделируемого дифференциальными уравнениями, возможность замены математической модели процесса более простой моделью или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме, в некоторых случаях возможность получения точных решений.
В настоящее время изучение симметрий дифференциальных уравнений проводится в рамках современного группового анализа, объединяющего в себе три научных направления — метод первого интеграла, классический групповой анализ С. Ли и дискретно-групповой анализ. Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Позднее Биркгоф привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости [8]. Однако в данном случае использование групповых свойств дифференциальных уравнений для поиска частных решений было использовано в единичных случаях и носило, в основном, иллюстративный характер.
Систематические исследования по применению методов группового анализа для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым и его учениками в конце 50-х годов прошлого столетия [33,34]. Применительно к уравнениям механики жидкостей и газа, эти работы продолжаются Л.В. Овсянниковым, его научной школой по настоящее время. В аналитической механике теоретико-групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Четаева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [37], В.В. Пухначевым [39], С.В. Хабировым [57]. В работах этих

Понятно, что уравнения (1.31), (1.32) при произвольной функции д
могут быть удовлетворены только если С — С2 = 0, Сз = 0. А из (1.33), (1.34) следует, что Сг = /2 = 0, С2 + 2Сг - }х = 0, /4г = 0. Тем самым доказана
Лемма 3. Базис ядра операторов основных алгебр Ли Ьо уравнений (1.30) образовать операторами вида дх, др.
Наличие этих операторов влечет инвариантность системы (1.30) относительно сдвигов по пространственной координате х и давлению.
Решение задачи групповой классификации основано на существенном использовании следующих преобразований эквивалентности системы (1.30):
х — 1х + Ь; у — ку + а; й = ти; V — кт1~1т, р — т?р + зх + с. (1.35) При этом произвольный элемент д преобразуется так:
д = кгг?1~1д + ву + б. (1.36)
Здесь а, Ь, с, ф к, I, т, з — вещественные параметры, причем, если полагать Ь = 1, а остальные постоянные равными нулю или с = 1, а остальные — нули, получим ядро основных алгебр Ли, которое входит в преобразования эквивалентности.
Задача групповой классификации этой системы полностью решена по аналогии с задачей для нестационарного слоя, результаты представлены в таблице 1.2 приложения 1. Заметим, что при'решении задачи существенно использовался тот факт, что д не зависит от х.
Теорема 2. Набор специализаций произвольного элемента д(у, иу) для системы (1.30) и допускаемых операторов преобразований для соответствующих специализаций представляет собой 17 специализаций, 12 конечномерных и 4 бесконечномерных операторов, представленных в таблице 1.2 приложения 1.