Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Абдурагимов, Гусен Эльдерханович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 97 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка
§1.1 Предварительные сведения и объект исследования
§1.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально - дифференциального
уравнения второго порядка
§1.3 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго
порядка с запаздывающим аргументом..,'..'...'
§ 1.4 Априорные оценки положительных решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с
запаздывающим аргументом
Глава 2. Существование и единственность положительного решения краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом §2.1 Существование единственного положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго
порядка с линейным запаздывающим аргументом
§2.2 Существование единственного радиально-симметричного решения краевой задачи для одного уравнения в частных производных с линейным запаздывающим аргументом

§2.3 Существование положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго порядка с
запаздывающим аргументом
§2.4 Построение приближенного положительного решения
Глава 3. Существование и единственность положительного решения краевой задачи с краевыми условиями общего вида для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка §3.1 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения
второго порядка
§3.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного сингулярного функциональнодифференциального уравнения второго порядка
§3.3 Примеры
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Я1 - множество действительных чисел;
С'(О) - банахово пространство непрерывных на ограниченном замкнутом
пространстве О множества Я1 функций;
С([0,1]) = С;
С7 (£2) {у є (0,1]) - пространство Гельдера;
С7([0,1 ])- Су
Ьр(£2) (1 < р < оо)-банахово пространство функций, суммируемых на
замкнутом пространстве О со степенью р;
Ьр([0,1]) = Ьр
IV2 - линейное пространство функций дважды дифференцируемых на [0,1] и имеющие абсолютно непрерывную производную;
|Ы|= тахх(1).
іе[0,1]

оператор А: С -> С имеет в конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку, что равносильно существованию положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2).
Теорема доказана.
Докажем теперь единственность положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2) в случае р <Ц
Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.2 и
1) /(і,ти)<гр/<1 /(Т,ы), і е [0,1], и>0, те(0,1);
2) /(і,гі) монотонна по и при Г є [0,1 ] и и > 0.
Тогда краевая задача (1.2.1)-(1.2.2) имеет единственное положительное решение.
Доказательство. Доказательство теоремы опирается на теорему 1.1.3. Покажем, что оператор А: С —>С является и0 - вогнутым на конусе К.
В силу оценок (1.2.4), теоремы 1.2.2 и леммы 1.2.1 соответственно имеем

(Ах)(1) = 0(ї, 5)/(я, (Тх)($))с1$ < Ьф)(Тх)р/С1($)й8< о о
<Ьср/і1\х\р/дф), 0<ґ<1

(Ах)(і) = (г,з)/(я,(Тх)($))(і$ >ср(1)(р(з)а(5)(Тх)р/<1(5)(1з > о о
і р/(1
>(р($)а(з)(Т(р) ($)<Щр/дф), 0<і<1.

Очевидно, в качестве ненулевого элемента и0 из К можно взять (р. Второе соотношение в определении и0 - вогнутости оператора А А(ис)>(1 + т])тАх (0<г<1),