Свойства отслеживания для семейств динамических систем

• Автор: Тараканов, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Глава 1. Обобщенное отслеживание
1. Основные определения
2. Постановка задачи
3. Случай диффеоморфизма
4. Случай Н(М) = Z(M)
Глава 2. Свойства нечувствительности
и предельной нечувствительности
1. Постановка задачи, основные определения
и формулировки результатов
2. Доказательство теоремы 2.1
3. Доказательство теоремы 2.1
Глава 3. Слабое свойство отслеживания
в П-устойчивых динамических системах
1. Основные определения и начальные сведения
2. Вспомогательные результаты
3. Доказательство теоремы 3.1
Литература
Рисунки 1, 2
Нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) являются основными моделями динамических процессов в естествознании. Поэтому изучение поведения решений дифференциальных уравнений - это одна из фундаментальных задач современной математики.
Для многих приложений теории дифференциальных уравнений наиболее важным является исследование поведения решений на бесконечных промежутках. Основными примерами являются классическая теория устойчивости движения, а также интенсивно развивающаяся в последнее время теория систем со сложным (квазистохастическим) поведением решений и теория аттракторов.
Хорошо известно, что построение решений нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде возможно лишь в исключительных случаях. Кроме того, даже наличие явных представлений решений совсем не всегда позволяет эффективно описать их предельное поведение при стремлении времени к бесконечности.
Поэтому современные методы исследования динамики, порождаемой нелинейными дифференциальными уравнениями, основаны на взаимодействии двух подходов. Первый из них использует результаты качественной теории дифференциальных уравнений, базирующиеся на аналитических и топологических методах.
Второй подход использует результаты численного интегрирования исследуемых уравнений. Значение этого подхода неизмеримо возросло с появлением современных компьютеров, обладающих огромными памятью и быстродействием.
Следует отметить, что при отсутствии надежного контроля использо-

вание результатов компьютерного моделирования может привести исследователя к ошибочным выводам. По многим причинам (основными из которых являются неустранимые погрешности численных методов и ошибки округления) результат компьютерного моделирования дифференциального уравнения всегда является приближенным. Конечно, точность вычислений можно повышать, но при этом принципиально невозможно получать достоверную информацию о поведении решений на бесконечных промежутках времени, не прибегая к помощи качественной теории дифференциальных уравнений.
Вопрос о том, при каких условиях приближенные и точные решения могут быть равномерно близки на неограниченных временных промежутках, изучается теорией отслеживания (основным методам и результатам этой теории посвящены монографии [19] и [20]).
Удобнее всего формулировать основные определения и результаты этой теории в терминах динамических систем.
Пусть М - гладкое замкнутое многообразие с римановой метрикой р. Мы будем рассматривать два основных метрических пространства динамических систем:
пространство гомеоморфизмов Z(M) с метрикой ро:
Ро(Ф, Ф) = тах(тах(р(^(т),^(т)),тах(р(^-1(х),'0^1(х)))));
х&М хвМ
пространство диффеоморфизмов В11Г1 (Л<Г) с метрикой р:
Р{Ф,Ф) = Ро{Ф,Ф) + тах(|£)0(х) - 1>0(х)|)).
х€м
Фиксируем динамическую систему /. Фиксируем <5 > 0. Последовательность {х*,} £ М, к € Ъ, называется 5-псевдотраекторией, если р(/(х*.), Хк+1) <

Пусть {хк} - 5-псевдотраектория. Говорят, что она е-отслеживается точкой х £ М, если р(/к(х),хк) < е для любого к Е Z.

£ = {х&} выполнены включения хо £ и хт £ Щ для некоторого числа т > 0 и индексов гД, то существуют такие базисные множества что
Г2г —> —>•••—>■ Г—> Пу.
Доказательство леммы 3.2.1. Возьмем число N из леммы 3.2.1/. Допустим, что не существует требуемого д. Тогда существуют последовательности чисел ф- —>■ 0 и с^-псевдотраекторий ф = {хД, такие, что £^’Л+1П£/ = 0. Так как множество М1! компактно, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что точки х3{) сходятся к точке Хц, и, следовательно, рассматривая пределы точек х3к, 0 < к < N + 1, при 3 оо, получим, что последовательность х, /(хд), • - ■, /Л+1(хд) не пересекается с окрестностью и, что противоречит лемме 3.2.1'.
Доказательство леммы 3.2.2. Известно [23], что для диффеоморфизма /, удовлетворяющего Аксиоме А и условию отсутствия циклов, существует глобальная функция Ляпунова, то есть такая непрерывная функция
^ : М ->■ И,
для которой выполнены соотношения
Р(/(х)) < .Р(х), если х $
F(f(x)) = F(x), если х £ $2.
Заметим, что так как в каждом базисном множестве О* есть плотная траектория, а Р непрерывна, то Р |щ - константа, которую будем просто обозначать F(^2j). Известно также [23], что функцию А можно "подправить" таким образом, чтобы все значения ^(Ог) были различными. Будем считать, что F уже удовлетворяет этому условию.