Усреднение в областях с осциллирующей границей

• Автор: Чечкина, Татьяна Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обзор литературы и описание проблемы

2 Структура работы

1 Усреднение в областях типа инфузории

§ 1.1 Усреднение в областях с согласованной структурой перфорации и осцилляции

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Формальная процедура усреднения

1.1.3 Предварительные леммы

1.1.4 Основная оценка

§ 1.2 Усреднение в области с несогласованной структурой. . .

1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Применение метода компенсированной компактности Мюра-Тартара
1.2.3 Предварительная лемма
1.2.4 Доказательство теоремы
2 Усреднение в многоуровневых соединениях
§2.1 Усреднение в периодическом многоуровневом соединении
2.1.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов
2.1.2 Вспомогательные асимптотические утверждения .
2.1.3 Доказательство основной теоремы

§ 2.2 Усреднение в периодическом каскадном соединении с
“широкой” трансмиссионной областью
2.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов
2.2.2 Вспомогательные асимптотические утверждения .
2.2.3 Доказательство основной теоремы
§ 2.3 Усреднение в двумерном случайном каскадном соединении
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Определение случайности
2.3.3 Основные результаты
2.3.4 Вспомогательные утверждения
2.3.5 Доказательство основных утверждений
§2.4 Усреднение в трёхмерном случайном каскадном соединении
2.4.1 Постановка задачи
2.4.2 Основные результаты
2.4.3 Вспомогательные леммы
2.4.4 Доказательство основных результатов
Список литературы
Введение
1 Обзор литературы и описание проблемы.
Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами — теория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, А. Ю. Беляев, A. Bensoussan, H. Н. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. С. Булдырев, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. D. Van Dyke, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, G. Dal Maso,
A. Damlamian, U. Hornung, В. В. Жиков, A. M. Ильин, Г. A. Иосифь-ян, C. M. Козлов, О. A. Ладыженская, J.-L. Lions, Л. A. Люстерник,
B. Г. Мазья, В. А. Марченко, В. П. Маслов, Т. А. Мельник, 10. А. Митропольский, Е. Ф. Мищенко, F. Murat, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, G. Papanicolau, С.Е.Пастухова, Б. А. Пламенев-ский, Л. С. Понтрягин, А. Л. Пятницкий, H. X. Розов, J. Saint Jean Paulin, Е. Sânchez-Palencia, И. В. Скрыпник, L. Tartar, А. Н. Тихонов, М. Ф. Федорюк, Е. Я. Хруслов, Г. А. Чечкин, D. Cioränescu, А. С. Ша-маев (см., например, [2], [3], [6], [28], [29], [160], [157], [150], [50], [83], [96], [26], [11], [7], [136], [27], [152], [148], [43], [44], [45], [48], [108], [16], [133], [115], [12], [13], [59], [119], [120], [66], [21], [9], [30], [40], [34], [14], [15], [158], [113], [70], [17], [114], [8], [46], [131], а также см. обзор в [58]).

/ Q(x)uq(x) v(x) dx — / R(x) v(x) dx
J nsi‘ J ПП'
[ f{x)v(x)

lnQ' J f!n'
+ I fix)v(x) dx + 0(e)\v\Hi{nc) = h + /2 + /3+
+/4 + /5 + -^6 + h + h + h + ho + hi + h 2 + Лз + 0(е‘)||г;||я1(ПЕ)-Из лемм 1.1.1 и 1.1.4 следует
h < C*i £2а ||г>||я1(пе)! < С*2 е2“ Н^Няцп*)
/б < С*7 (£2а + £ “ ) Цг/Ця!^)) ^7 < с6 (г2“ + е » ) ЦиЦя1^)-
Так как (}{х) = 0 и Я(х) нОв и Мфт, £) = 0 для ж € 0X0', то
/12 = 0. Оценим члены /2 и /3. Согласно лемме 1.1.

■ [ q(x,—)u0(x)v(x) ds — -—^—г [ Q(x)u0{x)v{x) dx
JsE £ lDwl Jn'E
< CiaE ЦиоЦяЦП^Ц^ЦяЦП')! h — £ I ^(х, —) v(x) ds — 1—7—7 [ R(x) v(x) dx <
I Jse £ j PVI Jn'E J
< C*i5 e ||u(a;)|^i(nf).
Ясно, что члены 1} и /4 допускают следующую оценку
h + h < CWlMIff^n*)-
Тождество /5 = 0 следует из граничных условий задачи (1.1.6). Опираясь на лемму 1.1.6 можно предполагать, что функция f(x) равна нулю в слое Пе. Это не ухудшит окончательную оценку по лемме 1.1.6. Тогда, /iS = 0. Оценим интеграл /ц. Учитывая (1.1.13), легко проверить,