Исследование разрешимости задач для нестационарных вырождающихся на решении нелинейных уравнений

• Автор: Агапова, Елена Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление
Введение
1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1. Постановка задачи
2. Обозначения и вспомогательные утверждения
3. Теоремы существования
4. Теоремы единственности
2. РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Постановка задачи
2. Обозначения и вспомогательные утверждения
3. Оценки в соболевских пространствах
4. Теорема существования и единственности
3. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1. Постановка задачи
2. Обозначения и вспомогательные утверждения
3. Первая теорема существования
4. Вторая теорема существования
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых нестационарных уравнений с неявным вырождением. Первые результаты по нелинейным параболическим уравнениям с неявным вырождением были получены в работах О. А. Олейник, А. С. Калашникова, Чжоу Юлинь, Ж. - J1. Лионса, Р. A. Raviart. Они основывались на компактности приближений, которое опиралось на монотонность по параметру приближения Галеркина. Достижение монотонности по параметру требовало сильных ограничений на нелинейный член, в частности на гладкость определяющей его функции и на ограниченность начальной функции.
Среди авторов, внесших существенный вклад в развитие теории нелинейных параболических уравнений с неявным вырождением, предложивших новые подходы и методы построения единой теории, отметим Ж. -Л. Лионса, X. Трибеля, D. G. Aronson, P. Benilan, Ю. А. Дубинского, Р.
A. Raviart, М. М. Лаврентьева - мл., А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова, А. П, Михайлова, О. А. Ладыженскую, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцеву и других.
На протяжении последних двадцати лет количество работ, посвященных рассматриваемым уравнениям заметно возросло. В значительной мере это связано с появлением новых приложений в физике атмосферы и океана, математической биофизике, синергетике, изучающей общие законы самоорганизации нелинейных сред, теории переноса, статистической физике. Также связано с появлением новых методов исследования таких уравнений. Рядом авторов Г. В. Алексеев, Н. В. Хуснутдинова,

С. H. Антонцев, В. Н. Монахов, Н. М. Бокало, О. Б. Бочаров, А.
Н. Васильев, В. Н. Врагов, Т. И. Зеленяк, А. А. Иванов, Р. Керш-нер, А. И. Кожанов, Н. В. Кислов, Е. Р. Косыгина, Г. - И. Лаптев,
В. А. Новиков, А. Г. Подгаев, П. И. Плотников, С. Г. Пятков, К.
Н. Солтанов, P. Benilan, G. Crandall, D. Eidus, К. Hollig, A. V. Lair, T. Nanbu, P. E. Sacks, J. Vazques были получены новые теоремы существования и единственности для различных классов нелинейных вырождающихся параболических уравнений. Соответствующую библиографию и многие результаты можно найти в монографии А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова, А. П. Михайлова ’’Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений” М.: Наука. 1987. Некоторые сведения обзорного характера можно найти в работах А. С. Калашникова, А. А. Иванова, Г. И. Лаптева.
Несмотря на значительное число публикаций, посвященных теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, нет общих методов доказательства существования, единственности решения краевых задач для подобных уравнений. Одним из факторов, определяющих сложность проблемы, является нелинейность в главной части дифференциального уравнения в частных производных и его вырождение не на заданных многообразиях, а, как говорят, на решении, которое само неизвестно. В связи с этим представляется актуальным развитие методов решения нелинейных вырождающихся параболических уравнений, позволяющих до-казывать теоремы существования и единственности для широких классов задач.
Цель работы. Исследовать разрешимость краевых задач для нели-

Условие (1.3.1) выполняется при р Є [а + є; 2) П [1,2), а + є < 2:
<м(і£| + і)а+г + _ <сі||рі + с2.

Условие (1.3.2) выполняется при ограниченных £, например, при а < 1:
Ь'2 (|£| + 1)
< 1п2 (|К| + 1) < С$(К).
Ш + 1)1-“
с,) Функция, производная которой обращается в нуль в нескольких точках:
г{яп2(|С| + 1) , ,,£, /фт(|С| + 1)|
ш=/;(1с1+1),„
Условие (1.3.1) выполняется при р Є [1 — у; 2):
[і зіп2(|С| + 1)

1 о
-сгс
о (ІСІ + 1)1
условие (1.3.2) выполнено с абсолютной константой, равной единице:
зіп2(1<Є| + 1)
< 1, если V > 0.
(1«1 + 1)‘
Замечание 1.3.4. Существование непрерывной обратной для функции в этих случаях очевидно, так как <р(£) обращается в нуль
только в точках, а не на целом промежутке.
Теорема 1.3.2. Пусть заданы /, щ(х), <р(и), причем щ(х) Є Ьг()

/ Є г(Сі)) П Ьр,(0), р-2 Є (1,— ], р2 Є [1,2), г >2
Р'2
рз Є (1,оо), р - сопряженное к рз: —+ —= 1. Относительно абсо
Рз Рз
лютно непрерывной функциир кроме (1.3.2) дополнительно будем пред полагать, что существуют постоянные С4, С5, при которых для все: £ выполняется неравенство:
Ш<сш)Г- + сь.