Вариационная сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста

• Автор: Хрипунова Балджы, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
1 О Г-компактности одного класса интегрантов с нестандартными услови-
ф ями коэрцитивности и роста
§1 Основные положения теории Г-сходимости
§2 Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и
роста вида }{х, э,£)
§3 Теорема о Г(э)-компактности
§4 Теорема о Г-компактности
ф §5 Сходимость минимумов и минимизантов
2 О переходе к пределу в классе степенных интегрантов
§6 О Г -замыкании класса степенных интегрантов
§7 Строгая выпуклость Г-предельного интегранта
§8 Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия
§9 Равномерная выпуклость и Г-сходимость
3 Варианты леммы о компенсированной компактности
§10 Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения
§11 01у-спг1 лемма с условиями в терминах Г-сходимости
Литература

Введение
В задачах вариационного исчисления требуется найти наименьшее значение функционала, заданного на некотором множестве. Если задана последовательность вариационных задач, то возникает вопрос о корректном определении предельной задачи и предельного функционала. Наиболее естественным языком, описывающим асимптотическое поведение вариационных задач, является так называемая Г-сходимость. Главная особенность Г-сходимости состоит в том, что широкие классы интегрантов оказываются компактными относительно этой сходимости.
1, В рамках абстрактной теории вопросы Г-сходимости были изучены в работах итальянских математиков Э.Де Джорджи [7], [Э] и его коллег более тридцати лет назад. Л. Карбоне и К. Сбордоне [3[ конкретизировали абстрактную теорию для интегральных функционалов вида
где ПсЖ“* есть ограниченная липшицева область, а интегрант /(ж, £) : ПхШ/*—предполагается каратеодориевой, выпуклой по £ функцией, для которой выполнены стандартные условия коэрцитнвности и роста: |£|" < }(х, £) < с(|£|“ + 1), 1 < а < оо.
Жиков В.В. в работах [15], [18] построил более общую теорию Г-сходимости интегральных функционалов с нестандартными условиями коэрцитпивности и роста
В работе [18] установлено, что класс (0.'2) компактен относительно Г-сходимости. Отметим важную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивное и роста (0.2): когда показатель нелинейности а, отвечающий за свойство коэрци-тивности, строго меньше показателя 0, отвечающего за свойство ограниченности, воз-
(0.1)
-Со + С1|£[“ < Дх,<0 < сг^ + со, СьС2 > 0, со > 0, 1 < а < р < оо. (0.2)
пикает неединственность постановки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Эффект Лаврентьева выражается в неравенстве
F,i = min f f(x,Vu)dx < inf [ f(x, Vu)dx = R2, (0.3)
чес0~(П) ja
из которого видно, что с одним и тем же функционалом F можно связать задачи двух типов - Е| и В связи с этим В,В. Жиковым было введено два типа Г-сходимосги.
Отмеченные выше результаты относились к интегральным функционалам F вида (0.1), зависящим от градиента Vu, но не от самой функции и. Представляет интерес рассмотреть функционалы, которые зависят не только от градиента Vu, но и невыпуклым образом от самой функции и. Последнее обстоятельство отмечалось в качестве нерешенной проблемы в работах A. Braides [1) и В.В. Жикова [18] более 20 лет назад.
Рассмотрим интегральные функционалы вида
Р(ге) = I }{x,u,Vu)dx.

Интегрангами являются каратеодориевы (с непрерывностью по 5 и (), выпуклые по £ функции /(ж, 5, ():!]х ГО X Ж* —> Ж, для которых имеют место
• нестандартные условия коэрцитивности и роста
-Св + С!^!“ <Дж, в,О < с2|Ср + Со, си С2 >0, й) > 0, 1 < а < ,3 < оо; (0.4)
• свойство непрерывности по второму аргументу:
/(жХ£)-/(Х,5,£) < Щ.Ч-5'|)/(х,5,С) (0.5)
для любых ^бЖ'*, з.э'бМ и п.в. хбП, где ц»({) : (0,оо) —> [0, т] - непрерывная функция такая, что и/(0) = 0.
Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (0.4)-(05) при некоторых дополнительных условиях на показатель.
2. Приведем некоторые факты и определения из абстрактной теории Г-сходимости. Пусть X - метрическое пространство. Будем рассматривать функции (функционалы) Р, : X ->■ [-оо,+00].

первого и второго типов.
Предположим, что имеет место Г1-сходимость /„ к /. Возникает вопрос, куда сходятся энергии Ejn). Идеальным ответом была бы сходимость энергий
lim Е^ = Ei = min [ f(x,u,Vu)dx, / = rVlim/n. (5.3)
л'+°° <■“(«) Ja
Также естественно ожидать сходимость энергий другого типа из (5.2), а именно,
lim Ej1^ = Ej = inf I f{x,u, Vu)dx, / = r2-lim/„. n-*oo Cg° В ряде случаев указанная в (5.3) сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах следующего вида.
Предложение 1.5.1 Пусть f = Fi-lim/,,. Тогда справедливы неравенства для энергий Ei = min Fiu) < liminfE}”'1 < HmsupE{n* < inf F(u) = E2. (5.4)
Иф“(П) п-юо Cg=(n)
Доказательство. Задача E]n>/ имеет минимизант u„ б ^'“(П), для которого выполнено свойство равномерной ограниченности jü |Yttn|adr < С < оо, а можно считать, что ип^и0 в ^’“(П). По свойству полунепрывности снизу Г;-предела.
liminf Е{п) = liminf / fn(x,u„,Vu„)dx > f f{x,Uo,Vu0)dx>El. (5.5)
"-wo Ja Ja.
С другой стороны, для любого £ > 0 существует функция и € CJ°(ß), такая что справедливо неравенство /п /(ж,u, Vu)dr < Е2 + f. Возьмем ^-реализующую последовательность Sn -1- « в 1У01,а(П), для которой lim /п fn(x, йп, Vü„)dx — Jn /(ж, u,Vu)dx. Тогда по определению Е” < /п/п(ж,й„, Vü„)dx, откуда
limsupE"< lim I /„(ж, йп, Vün)dx < Ег + £■ (5.6)
ft-ЮО «-+00 Jq
Полученные соотношения (5.6) и (5.5) дают необходимое неравенство (5.4). Предложение доказано.
Из неравенства (5.4) следует, что для сходимости энергий Е^п) достаточно равенства энергий двух типов в задачах (5.1) с Г]-предельным интегрантом /. А именно, доста-