Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель

• Автор: Чурашева, Надежда Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Предварительные сведения
§ 1.1. Схема обобщенного метода Лагранжа
§ 1.2. Матрицы Римана первого и второго рода. Случай постоянных коэффициентов
§ 1.3. Гиперболическая модель теплопроводности. Случай анизотропного материала
§ 1.4. Матрицы Римана одномерной гиперболической системы (1.15)
Глава И. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале
§ 2.1. Постановка задачи. Схема построения решения
§ 2.2. Задача граничного управления
§ 2.3. Выбор оптимального граничного управления
Г лава III. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном и трехмерном материале
§ 3.1. Матрицы Римана семейства систем Ьти- 0. Случай двумерного анизотропного материла
§ 3.2. Постановка двумерной задачи управления. Схема решения. Случай анизотропного материла
§ 3.3. Построение класса Ж допустимых граничных управлений
§ 3.4. Выбор оптимального граничного управления
§ 3.5. Случай трехмерного материала
Заключение
Литература

Введение
В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений
Первые результаты такого типа для частных ситуаций были получены в 60-е и 70-е годы прошлого века в работах А.Г. Бутковского и ряда других авторов (см. книги [6] и [7] и ссылки в них).
Систематическое построение теории управления волновыми процессами на базе теории гиперболических уравнений началась в работах Ж.-Л Лионса [36, 37, 81-83]. В частности, в работах [81-83] построен метод решения задачи точной управляемости для гиперболического уравнения второго порядка сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения, получивший название НЦМ-метод, получивший свое развитие в исследованиях многих ученых, в том числе у В. Коморника и О.Ю. Эма-нуилова [76-80]. В работах [76, 78] предложен подход к решению задачи точный управляемости на основе теорем о распространении особенностей; в [76, 78] для решения этой задачи использован аппарат априорных оценок карлемановского типа. В работе Д.Татару [84] этот аппарат применен для решения задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.
Важный вклад в эту проблематику внесла вышедшая в 1995 году работа Ф.П Васильева [9]. Предложенная в этой работе концепция теории двойственности для линейных систем управления позволила уточнить схему НЦМ-метода, представить в виде, позволяющем применять этот ме-

тод для решения широкого класса задач управления системами с распределенными параметрами.
В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.
В работах М.М. Потапова [46-51] и А. А. Дряженкова [52] построен приближенный метод решения взаимодвойственных задач управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами с граничными управлениями различных типов.
Большой цикл В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней [4, 21-30, 38, 40-45]. В каждом случае рассматривается задача поиска режима на концах, обеспечивающего переход за заданное время t, от начального вектора (и, и,') к заданному; строится зависящее от функциональных параметров
семейство граничных уравнений; из построенных управлений выбирается методом Лагранжа оптимальное - реализующее минимум функционала, имеющего смысл граничной энергии систем или Lp-нормы управления. Во всех случаях построено явное представление оптимального граничного управления. К этому циклу примыкают работы А.И. Егорова и Л.Н. Знаменской [14-16].
В работе A.B. Аргучинцева и В.П. Поплевко [3] рассматривается задача оптимального управления (граничного и стартового) полулинейной гиперболической системой первого порядка, получено необходимое условие оптимальности вариационного типа.
Одна из актуальных задач теории управления - разработка методов граничного управления процессами теплопроводности и диффузии. Большое внимание этой проблематике в рамках параболической теории тепло-

Глава II
Оптимальное граничное управление теплопереносом в
§2.1. Постановка задачи. Схема построения решения
Рассматривается гиперболическая модель распространения тепла в однородном стержне длины /; начальные данные приняты нулевыми не в ущерб общности для упрощения выполняемых далее вычислений):
Здесь 7', д - температура и плотность теплового потока, с, р,к,т- удельная теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности и период релаксации. Выполняются условия согласования
Скорость теплопереноса дается формулой (1.15).
Смешанная задача (2.1)-(2.Г) с кусочно-гладкими функцией р, р однозначно разрешима в классе кусочно-гладких функций со слабыми разрывами (скачками производных) на характеристиках, проходящих через точки (0,0), (0,/) и точки разрыва р р' (см. [10]).
Рассматриваются последовательно две задачи.
I. При фиксированной нулевой температуре
одномерном материале
дТ да л да ВТ п . . г. „ гп .
ср— + — = 0, г— + к-—н<7 = 0, (х,ґ)є[0, /]х[0, со),
ді Эх д1 Эх
(2.1)
р( 0) = 0, /1(0) = 0.
(2.1')
Ж0=0,
(2.2)