Кратные решения нелинейных эллиптических уравнений и систем

• Автор: Лубышев, Владимир Фёдорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
Введение

Обзор литературы

Список обозначений

Глава 1. Основные определения и вспомогательные результаты

Глава 2. Нелинейные задачи Неймана

2.1. Постановка задачи и результаты

2.2. Предварительные сведения

2.3. Некоторые свойства решений рассматриваемой задачи

2.4. Некоторые свойства Л*

2.5. Доказательство основных результатов

2.6. Дополнение
Глава 3. Кратные решения эллиптических уравнений для оператора р-лапласиана с выпукло-вогнутой нелинейностью
3.1. Постановка задачи и результаты
3.2. Задача минимизации I
3.3. Задача минимизации II
3.4. Задача минимизации III
3.5. Доказательство основных результатов
Глава 4. Кратные решения нелинейных уравнений и систем высокого порядка
4.1. Постановка задачи и результаты
4.2. Вспомогательные утверждения

4.3. Случай отрицательной энергии
4.4. Случай положительной энергии
4.5. Доказательство основных результатов

Глава 5. Три положительных решения одной нелинейной зада-
чи Дирихле
5.1. Постановка задачи и результаты
5.2. Вспомогательные утверждения
5.3. Задача минимизации I
5.4. Задача минимизации II
5.5. Задача минимизации III
5.6. Доказательство основных результатов
Заключение
Литература
Публикации по теме диссертации

Введение
Актуальность работы. Теория нелинейных дифференциальных уравнений является в настоящее время одной из наиболее активно разрабатываемых областей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Нелинейные дифференциальные уравнения возникают в многочисленных задачах современных естественных, общественных и инженерных наук. Важность исследования таких уравнений особенно велика в настоящее время, когда имеется абсолютная необходимость в моделировании и изучении процессов, происходящих в неоднородных активных средах, в условиях большого диапазона изменения температур, больших нагрузок и больших деформаций.
Число ежегодно публикуемых работ по нелинейным уравнениям велико. Причем это как сугубо теоретические работы, так и работы, отдающие предпочтение приложениям, разработке численных методов решения нелинейных уравнений и задач оптимального управления.
Теория нелинейных дифференциальных уравнения выработала довольно сильное симбиотическое отношение со многими областями математики, физики и других наук. С одной стороны, нелинейные уравнения моделируют множество явлений, изучаемых в естественных науках (электромагнетизм, нелинейные уравнения Максвелла) или общественных науках (финансовые рынки, нелинейная модель Блэка-Шоулза), обогащая теорию нелинейных уравнений новыми задачами, а с другой - служат важным источником их развития. В частности, с появлением пионерской работы Гаусса и Римана о многообразиях, нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных были в центре многих важных развитий в геометрии1.
Одной из основных и наиболее сложных проблем современной теории
1 Например, они использовались при доказательствах гипотезы Пуанкаре и гипотезы Калаби. Другой пример — задача Ямабе в дифференциальной геометрии.

мы получим, что для любой (р Е N
€/Т V - Д(е» Ч>) > Щ* 1ап у'V > е/7*
/эн ие
(2.21)
С + б
Деля (2.20) ыа |апгф<р и привлекая (2.21), мы получим, что
1пу<-у /ш“У ' 2 С + е
для всех <р £ N. Это противоречит определению (2.2) величины Л* и доказывает равенство ц* — 0. Итак, V* - положительное решение задачи (2.5).
Нам остается доказать равенство (2.18). Так как (Л*, и*) - решение задачи (2.1),
V«* Уи* - Л*

дО. д£1
Аналогично, так как (А*,г;*) - решение задачи (2.5),
Vи* VV* - А*

= (р - 1) [

Но р — 1 0, что и завершает наше доказательство.

2.4. Некоторые свойства А*
В настоящем параграфе исследуются условия, обеспечивающие положительность и конечность значения А*, а также устанавливаются некоторые результаты о существовании и отсутствии положительных решений задачи (2.1) в зависимости от взаимного расположения А и А*.
Как и в (2.13), мы ассоциируем с задачей (2.1) ее функционал энергии