О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами

• Автор: Найдюк, Филипп Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 134 с.

% Введение
1 Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке
с краевым условием третьего рода
1.1 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого и третьего родов
1.2 Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда
1.3 Решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов
1.4 Формула суммы тригонометрического ряда специального вида
1.5 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с кра-
» евыми условиями второго и третьего родов
1.6 Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов
1.7 Решение волнового уравнения для нагруженной струны
2 Новая вычислительная схема решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода и её сравнение с известными
2.1 Применение разностной схемы для решения смешанной задачи
с краевым условием третьего рода
2.2 Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода
3 Волновое уравнение с сингулярными коэффициентами
на связных и конечных геометрических графах
г 3.1 Понятие связного открытого геометрического графа

3.2 Функциональные пространства на связном открытом геомет-
, рическом графе
3.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с 8- и 5'- сингулярностями в коэффициентах
3.4 Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с 8- и 8'- сингулярностями в коэффициентах
3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
ихх(х,{) - q(x)u(x,t) = ии(х,г) (х 6 Г, * > 0), (1)
в котором Г - геометрический граф, а коэффициент д(х) есть конечная линейная комбинация 6 и 5' функций с носителями в точках из Г
д(х) = кгд(х — Х{) + к${х — жД * з
(здесь 8 это дельта функция Дирака).
Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), - подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сеДоказательство. В силу (1.6.2) и (1.6.5) имеем:
= (-1 Г- у. ( = (-1У-
{j-i-Щ2ky^ д ( } ) и-1-Щ2ку *{ >’
п-ч * А (-1)^Г? ?
где Д (у) = ^—у4 - многочлены, представляющие из себя д=0 У'
ортогональные многочлены Лагерра (устанавливается непосредственной проверкой).
Из представления решения в форме Даламбера задачи (1.5.1) и результатов, полученных в (1.6.2), (1.6.5) и (1.6.6), с учётом %(х) = екхф(х) и (1.5.3) вытекает утверждение теоремы (с учётом замены индекса суммирования г). ■