Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией и резонансные бифуркации циклов

• Автор: Карпова, Антонина Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Элементы бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях

1.2 Схема Ляпунова - Шмидта

1.3 Конечномерные уравнения, как конечномерные усечения

фредгольмовых уравнений

1.4 Дискриминантные множества (бифуркационные диаграммы)

1.5 Отображение в регулярной точке

1.6 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений

1.7 Элементы теории С—пространств, слабо гладкая круговая

симметрия
2 Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией
2.1 Действие окружности на ядре фредгольмова отображения
2.2 Ключевое отображение
2.3 Алгоритм вычисления ключевого уравнения
2.4 Алгебраическое уравнение в К4 с круговой симметрией и
резонансным вырождением типа 1:2
2.4.1 Переход к приведенному уравнению

2.4.2 Нормализованное приведенное уравнение
2.4.3 Параметризация дискриминантного множества
2.4.4 Случай резонансов р : д, |р| + |д| >
2.4.5 Резонанс 1:1
3 Анализ и вычисление амплитуд бифурцирующих периодических решений дифференциальных уравнений
3.1 Бифуркации циклов из сложного фокуса
3.1.1 Случай 4-мерной динамической системы
3.1.2 Случай п-мерной динамической системы
3.2 Замечания о возможности исследования устойчивости бифурцирующих циклов
3.3 Система гидродинамического типа с нелинейной вязкостью и трением
3.4 Двухмодовые бифуркации периодических волновых решений уравнения 4-го порядка
3.5 Приложения
Список литературы

Введение
Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хопфа и др.
Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике (при исследовании автоколебаний в RC-генераторах), в реальных моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и других разделах современного естествознания.
Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих решений выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, А.М. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса,
С.В.Миронов, В.Г.Задорожний и др.). Большинство созданных на этой

Определение 14. Пусть gi
Тогда росток развертки

f{x, А) = /(ж) + Y XJ 9jix) з
в точке (0,0) £ Е х М7” называется миииверсальной деформацией особенности / в нуле.
Бифуркационная диаграмма (дискриминантное множество) этой развертки в нуле называется бифуркационной диаграммой особенности / в нуле.
Аналогичные построения можно провести и для ключевого отображения в : R" -» Rn
Определение 15. Пусть 0(0) — р(0) = 0. Отображения вир называются V-эквивалентными в нуле, если существует С°°-диффеоморфизм
<р : (RB,0) (Шп,0)
и локальное с°° -отображение
А : (М",0) -» (GL(n), )
такие, что р(£) = А(£)0(<£>(£)) (последнее равенство предполагается выполненным для достаточно малых £, для которых заведомо определены Аир).
Пусть £(М", Rn) — пространство всех гладких ростков (Шп. 0) —> (Rn, 0).
®t(R",Kn) - {9 £ 5(МП,КП)|0(О) = 0}