Интерполяционные методы получения априорных оценок решений слабо нелинейных параболических уравнений высокого порядка

• Автор: Лаптев, Геннадий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Глава 1. Уравнения и системы второго порядка
1. Общая схема метода
2. Системы второго порядка без производных в нелинейных членах
3. Системы второго порядка с оценкой ||и||оо
Глава 2. Уравнения и системы высокого порядка
1. Краевая задача общего вида
2. Первая начально-краевая задача для уравнения
3. Первая начально-краевая задача для системы уравнений
Литература

Общая характеристика работы
Начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математики и ее приложений. Теория линейных уравнений разработана к настоящему моменту с достаточной полнотой. В то же время изучение существенно нелинейных задач сопряжено с большими трудностями и требует создания принципиально иных методов исследования. Поэтому на данном этапе наибольшее количество исследований относится к полулинейным и квазилинейным уравнениям. К их числу относится и настоящая работа, в которой на основе уже известной линейной теории и теорем вложения анизотропных пространств С.Л. Соболева устанавливаются условия сильной разрешимости полулинейных параболических уравнений и систем.
Цель работы состоит в нахождении в некотором смысле предельных условий роста нелинейных слагаемых полулинейных параболических уравнений с неограниченными особенностями, при которых из слабой априорной оценки решений (в пространствах суммируемых функций) следует сильная (в пространстве С.Л. Соболева). Данный вопрос тесно связан с регулярностью слабых решений указанных задач. Для исследования применяется развитый автором интерполяционный метод получения второй априорной оценки, основанный на точных неравенствах мультипликативного (интерполяционного) характера, следующих из теорем вложения анизотропных пространств С.Л. Соболева, и известной линейной теории.
В диссертации впервые установлены следующие результаты:

1. Разработан, применительно к полулинейных параболическим уравнениям и системам, интерполяционный метод получения второй априорной оценки.
2. Найдены показатели роста нелинейностей, при которых имеет место сильная априорная оценка в пространствах С.Л. Соболева. В частных случаях построены примеры, показывающие, что показатель является критическим.
3. Доказаны теоремы о существовании сильных решений начально-краевой задачи для полулинейных параболических уравнений и систем высокого порядка с неограниченными особенностями.
Работа имеет теоретическую направленность. Найдены условия, обеспечивающие существование сильных решений полулинейных параболических уравнений и систем с неограниченными особенностями, как второго, так и высокого порядков. Предложенный метод исследования может быть применен к полулинейным и квазилинейным уравнениям других типов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], без соавторов.
Диссертация состоит из двух глав, посвященных соответственно уравнениям и системам второго и высокого порядков, и списка литературы. Каждая глава, в свою очередь, разбита на 3 раздела. Объем диссертации - - 97 машинописных страниц.
Аналогично для (ие)*:
(х2 + 1-г + £)а+а{х2 + 1-1 + е)<*+1
х2 + 1 — I + е + «(ж + I — 1) „ |ж| + 1 —£
(ж2 + 1 — ^ + е)"+1 — С (ж2 + 1 — £ + е)а+1
1 ж + £
Отсюда следует, что п£ £ для всех е > 0.
Подставляя непосредственно в формулу для и£ значения х = 1, х = — 1 и £ = 0, легко убедиться в принадлежности граничных значений функций и£ к пространствам непрерывнодифференцируемых функций и ограничености их норм равномерно по е > 0.
Покажем теперь, что коэффициент Ье(ж,£) £ Ьр{0) и ИМр;<Э ^ С для всех е > 0 при
Оценим Ь£ сверху по модулю, используя полученные выше неравенства:
с фиксированным 0 < а <
—дие/д1 + д2ие/дх2 |ж| + 1 —£
ди£/дх^ ~ (ж2 + 1 — £ + е)а(1_0+1
Тогда для ||Ье||р имеем: