Интегрируемость по Пенлеве систем нелинейных дифференциальных уравнений с приложениями к теории переноса

• Автор: Баландин, Сергей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 96 с. : ил.

щ Оглавление

1 Тест Пен леве для неабелевых уравнений

1.1 Предварительные сведения

1.2 Первое матричное уравнение Пенлеве

1.3 Второе матричное уравнение Пенлеве

2 Линеаризация системы эволюционных уравнений

2.1 Предварительные сведения . . . . ;

2.2 Модификации сингулярного анализа

2.3 Линеаризация системы типа Бюргерса

3 Приложения к теории переноса

3.1 Предварительные сведения

3.2 Перенос в дисперсионных средах
3.3 Учет эффектов высшего порядка
3.4 Перенос со смешением мод
Заключение
^ Литература

Теория интегрируемости дифференциальных уравнений — дисциплина, бурно развивающаяся прямо на глазах. Эта область науки сейчас весьма актуальна и в нее вносят вклад многие исследователи и научные группы, работающие в различных странах мира. Среди них: М.Дж.Абловитц, М.Д.Крускал, А.К. Ныоэлл (все — США), П.Уинтерниц (Канада), Ф. Калоджеро (Италия), Р.Конт (Франция), М.Мюзетт(Бельгия), А.Форди (Великобритания), М.Лакшма-нан (Индия), Р.Хирота (Япония), В.И.Фущич (Украина), В.И.Гро-мак, Н.А.Лукашевич, А.И.Яблонский (все — Беларусь), В.Е. Захаров, H.A. Кудряшов, А.Б.Шабат, Л.Д.Фаддеев (все — Россия) и многие другие, на перечисление которых потребовалось бы слишком много места.
Хотя первые кирпичики в фундамент указанной теории закладывались сотни лет тому назад, но само здание еще не вполне завершено. Даже основополагающее для этой теории определение понятия интегрируемости допускает на сегодняшний день различные трактовки. Все перечисленные выше ученые являются представителями разных подходов к построению теории интегрируемости. Среди этих подходов можно назвать, например, групповой анализ, исследующий дифференциальные уравнения с точки зрения их инвариантности относительно групп преобразований. Основы группового анализа были заложены в XIX веке в исследованиях норвежца М.С.Ли. Или же можно упомянуть такую отрасль науки как теория солитонов, начатую с наблюдения Дж.Скоттом Расселом в 1834 году уединенной волны, которую он не мог догнать, скача на лошади вдоль канала, и выросшую в мощную дисциплину, объединяющую целые иерархии сложных нелинейных уравнений. Высшим достижением указанной теории является, пожалуй, метод обратной задачи рассеяния (Грин, Гарднер, Крускал, Миура). К вышеперечисленным подходам тесно примыкает также симметрийный анализ, который выявляет алгебраическую структуру определенных операторных соотношений. По мнению А.К.Ныоэлла, именно алгебраические свойства лежат в основе всех методов проверки интегрируемости дифференциальных уравнений.
Мы сосредоточимся лишь на одном частном методе, который западные исследователи часто называют сингулярным анализом, поскольку он выводит заключение об интегрируемости исследуемых конкретных дифференциальных уравнений из отсутствия сингулярностей у решений данных уравнений. Естественно, как и любой частный метод исследования, он имеет свои границы применимости, и наряду с преимуществами, не лишен недостатков. К сожалению, частный характер этого метода делает невозможным строгое доказательство неких общих формулировок, однако, он является прекрасным средством для эвристических умозаключений.
Идея состоит в поиске решения исходного уравнения с частными производными в виде аналога ряда Лорана с переменными коэффициентами по степеням некоторой функции независимых переменных (Джимбо, Крускал и Мива [20])

либо более общего вида (Вейсс, Табор и Карнивэйл [21])

и = х)ф‘~р(ф, х).

Последовательно находим показатель степени —р, с которого начинается разложение, те значения индексов j, при которых обращаются в ноль множители при соответствующих коэффициентах ряда, при этом один из индексов, соответствующий произвольной функции сингулярного многообразия ф, будет = —1, подсчитываем число произвольных функций, которое, очевидно, должно совp=—lus2 — s — 2 = 0. Причем положительный корень квадратного уравнения s=2 приводит к неинтегрируемой ветви, так как при g ф 0 из второго уравнения системы для единственной отрицательной степени ф в третьем слагаемом сразу следует фх = 0. Остается принять s = — 1. Сравнивая коэффициенты при крайней степени ф~3, имеем щ = 2фх.
Анализ резонансных значений системы (2.19) дает следующий результат:
Таким образом имеются четыре различных целых резонансных значения: -1, 0, 2 и 3.
Согласно модификации ЛКМ функция ф из разложения (2.21) выбирается в виде ф = х — хо, причем то и коэффициенты иі и Vі считаются функциями только переменной £. Далее, функция д(ф, х) раскладывается в ряд Тейлора по степеням х — Хо'-
Этот ряд также подставляется в систему (2.19). Приравнивание членов при одинаковых степенях ф позволяет последовательно определить все коэффициенты (2.21), кроме,естественно, соответствующих резонансам j = —1,0, 2,3 произвольных функций то(£), у$(£), ы2(£) и г>3(£).
Полагая, например, что то(£) является решением первого уравнения Пенлеве, которое следует переписать в растянуто-сжатых координатах £ = т/2, д = 4/,
и определяя остальные произвольные функции равенствами
QU) = j(j +1)0' - 2)(і - з) = о.
(2.22)
Va = g(t, x) = 24<^2 + 81,
Щ (£) = —2 (fit, u2(t) = 0,
vs(t) = 9x(t, (2.23)
(2.24)