Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля

• Автор: Еремин, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 137 с.

ГЛАВА 1. Краевая задача для уравнения с матричным иптегро-дифференциальным оператором
1.1. Определение и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования

1.1.1. Вспомогательные сведения

1.1.2. Матричное уравнение Абеля первого рода

'Ф 1.1.3. Условия разрешимости матричного уравнения Абеля

1.2. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором

1.3. Эквивалентность краевой задачи нескольким краевым задачам меньшей размерности

1.3.1. Краевые задачи для скалярного уравнения: существование решения и его непрерывная зависимость от начальных условий

1.3.2. Краевые задачи для скалярного уравнения: единственность решения

1.4. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения с матричным дифференциальным оператором
Выводы
ГЛАВА 2. Свойства смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной
2.1. Основные функциональные классы и свойства оператора смешанного дробного интегро-дифференцирования в этих классах
2.1.1. Пространство функций АСп,т(П) и его свойства
2.1.2. Пространство функций С”’(П) и его свойства
2.1.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная Римана-Лиувилля
2.1.4. Классы функций 1^С+{ЬХ), 1^с+(Съ&),
2.2. Двумерное интегральное уравнение Абеля

2.2.1. Единственность решения интегрального уравнение Абеля
2.2.2. Необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости уравнения Абеля
2.2.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная
производная как взаимно обратные операции
2.3. Краевые задачи для линейного уравнения со смешанной дробной производной
2.3.1. Задач типа Гурса для дифференциального уравнения со
смешанной дробной производной
2.3.2. Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка»
со смешанной дробной производной
Выводы
ГЛАВА 3. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
3.1. Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Гурса
для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
3.1.1. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со
смешанной дробной производной
3.1.2. Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода
3.1.3. Существование и единственность решения задачи типа Гурса
3.2. Аналог задачи типа Гурса для однородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
3.3. Аналог задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
3.4. Матричный оператор смешанного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля
Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с матричной дробной производной Римана-Лиувилля.
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, тесно связана с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных в настоящее время интенсивно развивается, свидетельством чему является большой поток специально посвященных ему публикаций.
В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все более часто возникают дифференциальные уравнения дробного порядка. В этой связи можно отметить монографии I. Podlubny [122], К. В. Oldham, J. Spanier [118], K. S. Miller, В. Ross [115], A. M. Нахушева [59,62], В. A. Нахушевой [57], работы I. M. Sokolov [128], А. А. Килбаса [107].
Исторически первыми приложения уравнениям с дробными интегралами и производными привели Абель [85,86] (задача о таутохроне) и Лиувилль [110], который дал приложения к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит; задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников; задачи, связанные с притяжением тел; задача о распределении тепла в шаре; задача Гаусса о приближенных квадратурах и др.
Собственно история дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало с работ М. Fujiwara [97], O’Shaughnessy [120], E. L. Post [123], E. Hille [100]. В работе E. Pitcher [121] были доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения Da+У = f(x>y)) что заложило серьезную основу для теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [87-90] и монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Мариче-ва [73].

Последнее равенство преобразуем к виду a2k2t2TEl/a{k2Ta; 2 )Zk
_ 2 tkya ( к2!“-2?* fc4/a-2p,
уТ,^я4Г(1 — apt) Тарз-1Г(2 — ap-i)t + eT*v- f fc~2pä fc-2/Q-2P» ■
tQp3_1r(—ap3) ^ар1Г(—1 — ctpi)
+ 0(ytmax{"2/a-2pi-2' -арз-2}ег*2/в). (i.i58)
Из (1.158) следует, что при к
= а-1 e-(T-t)^ ( fe2/Q-2" _ ^4/а-2"
VT°P / k2/a-2p3-2 k-2Pl-2
+ а-1 г - г +
£арз-ЗГ(_сф3) ^а?1-2Г( — 1 — ар{)
+ О ^Шах{-2Р1~4, 2/а-2рз-4}^ (1#159)
Поскольку рз ^2, Р4 ^ 2, то, начиная с некоторого к, для любого 0 < £ < Т выполняется неравенство
Ш « (1.160)
Непосредственно проверяется, что, начиная с некоторого к, для любого 0 < £ < Т выполняется неравенство
*а~1Е1/а{-акНа а) ^ сопв£2 , ,
Т£1/а(-а№;2) ^ /г4 ' 1 }
Поскольку коэффициенты Фурье тк, Т2к ограничены, то из (1.152), (1.160), (1.161) следует, что, начиная с некоторого к, выполняется неравенство
№М1 « (1-162)
Отсюда следует, что ряд
Еадо-ь=Е ( гад
( Ьа~2ТЕ1/а(-акНа; а - 1)£1/а(-а*;2Та; 2)_
+ ТЕ1/а(-ак2Та; 2) Т1*~
Ь0-1 ЕА/а(—акНа] а)Ег/а(~ак2Та; 1)