Интегрируемые иерархии эволюционных уравнений и их редукции

• Автор: Свинин, Андрей Кириллович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 109 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Интегрируемые иерархии и их представления
1.1 Гамильтоновы операторы
1.2 Би-гамильтонова структура
1.3 Рекурсионные операторы
1.4 Представление Лакса для эволюционных уравнений интегрируе-
мых иерархий
2 Интегрируемые иерархии, связанные со вспомогательным уравнением второго порядка, и однопараметрические группы классических симметрий
2.1 Интегрируемые иерархии и группы точечных симметрий
2.1.1 Группы симметрии типа Галилея
2.1.2 Группы симметрий растяжений
2.1.3 Алгебра точечных симметрий
2.2 Инвариантные решения
3 Модификация рациональных редукций Кричевера иерархии Кадомцева-Петвиашвили
3.1 Предварительные сведения и постановка задачи
3.2 Модифицированная (Ат, М)-ая иерархия Гельфанда-Дикого

3.3 Дискретные симметрии эволюционных уравнений модифициро-
ванной (Лг, М)-ой иерархии Гельфанда - Дикого
3.4 Рациональные решения системы модифицированной (2,1)-ой ие-
рархии Гельфанда - Дикого
3.5 Редукции двумеризованной цепочки Тоды. Системы типа Тоды
3.6 Редукции цепочки Вольтерра и одномерной цепочки Тоды
3.7 Решения типа бегущей волны эволюционных уравнений модифи-
цированной (1,1)-ой иерархии Гельфанда - Дикого
•3.8 Исследование прямой задачи для вспомогательного линейного
уравнения
Заключение
Литература

Введение
Предмет исследования данной работы групповая структура множества решений эволюционных уравнений интегрируемых иерархий, а также применение групповых методов для построения редукций и точных решений интегрируемых эволюционных уравнений. К необходимости изучения подобных вопросов приводят задачи описания существенно нелинейных явлений в различных областях естествознания, таких как гидродинамика, аэродинамика, экология, физика твердого тела и плазмы, нелинейная оптика, физика элементарных частиц и т.д.. Под интегрируемой иерархией понимается последовательность эволюционных уравнений (систем уравнений)
совместных друг с другом в следующем смысле. Для произвольной пары натуральных чисел га, т должно выполняться соотношение
где обозначает производную по эволюционному параметру tm в силу системы (0.0.1).
Основным способом построения интегрируемой иерархии является би-гамильтоново представление
с помощью совместной пары гамильтоновых операторов £$,£ и счетного инволютивного набора функционалов {Нт, т = 0,1
В отличие от теоремы Лиувилля [95], [3] би-гамильтонов формализм для заданной интегрируемой системы позволяет строить (благодаря известной

(0.0.1)

А„Кт[и] = Дт К„[и]
— К т — £ 6иНт—1 — Нт
Действие рекурсионного оператора Л [и] на QN.ni как нетрудно проверить, дает
+ * - і) ІгЩ - /и,
где і = сііа%{п,п — 1
2.1.2 Группы симметрий растяжений
Исследуем свойства инвариантности систем эволюционных уравнений (2.1.3) относительно преобразований растяжений зависимых и независимых переменных. Введем обозначения р = |92 + и + ихд~1. р,- = нг + кщхд~1. г = 2
/ рп+1

( О о -1 о

О (З2

(3ПР1 Р2
Рп~2р,

о рп~1

0 0 Р
0 0 Р‘2
-1 Р-А

0 -1 Рп
(рп 0 0 Ї

1 0 0 р>
(2.1.30)