Спектральные задачи для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных

• Автор: Корниенко, Дмитрий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Елец
• Количество страниц: 95 с. : ил.

1 Граничные задачи и операторные уравнения
1.1 Пространство Н и его представления
1.2 Описание спектральных задач
1.3 Дифференциальный оператор В и его расширение
1.4 Обобщённое решение; общие вопросы исследования спектра
2 Спектральные задачи для некоторых линейных систем
2.1 Задача Дирихле для КГ систем первого и второго типа
2.1.1 КГ система первого типа
2.1.2 КГ система второго типа
2.1.3 Сравнительный анализ и примеры
2.2 Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа
2.2.1 КЭ системы первого типа
2.2.2 КЭ системы второго типа
2.2.3 Сравнительный анализ и примеры
2.3 Задача Коши для КГ и КЭ систем
2.3.1 КГ системы первого и второго типа
2.3.2 КЭ системы первого и второго типа
2.4 Периодическая задача для системы уравнений смешанного типа
Литература

Диссертация посвящена исследованию спектральных характеристик ряда граничных задач для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной £, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучаемые системы уравнений удобно записать в виде так называемого операторного или дифференциально-операторного уравнения [11]
Здесь а, Ь-матрицы (2x2); Д-операция дифференцирования по переменной Оператор В действует в некотором сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве Нх и удовлетворяет определённым требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Присоединив к уравнению, изучаемому на конечном отрезке V* = [Т, Тг], —оо < Т < +оо, значений переменного £, систему условий
описывающую поведение функции и = и(і) в точках Ті, Т% получим граничную задачу, под решением которой мы понимаем сильное решение. Определив (обобщенное) решение граничной задачи (1), (2), получим замкнутый оператор Ь, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве Н. Под спектральными характеристиками граничной задачи (1), (2) мы понимаем спектральные свойства оператора Ь : Н -*■ Я. В дальнейшем, как условия разрешимости, так и свойства решений изучаемой граничной задачи описываются или в терминах свойств резольвенты Я = {Ь — А)-1, или в терминах свойств системы собственных вектор-функций замкнутого оператора Ь, сопоставляемого задаче.
Ь{ри В)и = аДи + ЪВи = /,
(1)
Пи = О,
(2)

Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. Л. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. К исследованию таких систем уравнений приводят также многие актуальные задачи теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Спектральная теория операторов, порождённых краевыми,задачами как для уравнений, так и для систем уравнений в частных производных, начала развиваться сравнительно недавно в ряде работ российских и зарубежных математиков. Изучались при этом как асимптотическое поведение собственных значений и расположение спектра на комплексной плоскости, так и базисные свойства систем, составленных из собственных элементов. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системе собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двух; общие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гипер-

s £ 1S2 имеем gs(t, г, Л) = C2, где положительное число C2 не зависит от
где константа С > 0 не зависит от s. Следовательно, равенство aL = РаЬ, а вместе с ним и теорема 2.2, доказаны полностью. ■
Изучим теперь свойства систем собственных вектор-функций оператора L : Н -> Н. Начнём со свойств упорядоченных и неупорядоченных подмножеств, составленных из их координат.
Лемма 2.2. Последовательность функций {e(t)}=1, является ортоиормироваииым базисом гильбертова пространства Ht; последовательность будучи минимальной, заведомо не является
полной в пространстве Ht.
□ Ортонормированиость в Ht элементов из упорядоченных множеств о проверяется непосредственно. Полнота этих
множеств в Ht вытекает, например, из [19, стрбО]. Осталось заметить что 1J_е| в Ht для fc = 1,2,3,___ ■
Свойства, установленные в лемме 2.2, составляют основу следующего результата.
Лемма 2.3. Система : k £ N, s £ 5} является базисом
Рисса в гильбертовом пространстве Htx — Ht® Нх.
□ Пусть {вк : к £ N} и {es : s £ 5}-ортонормированные базисы пространств Ht и Нх оответствеппо и Л : Ht Ht, В : Нх Нх-линейные ограниченные обратимые операторы, для которых О £ дЛ П дВ; Лек = и, к £ N; Bes = (ps, s Е S. Тогда (e^ ® es : к £ N, s £ 5}-ортонормированный базис в Htx, оператор А® В : Htx Htx, является
П Например, для изучения дифференциальных свойств решений рассматриваемой задачи.
S,t и ОТ Т. При S £ 5з удобно1) ПОЛОЖИТЬ
gs{t, т,Х) = С •
([А + v + l-g(s)l)2 _ exp {zs(r-t) sign (t-т)} (A + vf + B2(s) exp{2T^}
а при s £ S4 соответственно
gs{t,r, A) = С ■
([A + v + [ff(s)l)2 exp {zs(t - r) sign (t-т)} (A + u)2 + B2(s) 1 —exp{—2 Tzs}