Управление дискретным спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга

• Автор: Клочков, Михаил Аркадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Глава I. КОНСТРУКЦИИ ОДНОРАНГОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

§1. Построение однорангового возмущения для самосопряжённых

операторов с чисто точечным спектром

§2. Случай оператора, подобного самосопряжённому

§3. Управление частотой собственных колебаний струны с помощью

обратной связи

§4. Структура решений возмущённой задачи

§5. Оценка нормы однорангового возмущения

§6. Задача Трикоми

§7. Уравнение Шрёдингера

Глава II. КОНСТРУКЦИИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА

§1. Случай дифференциального оператора с кратным спектром
§2. Оценка нормы многорангового возмущения
§3. Управление частотой собственных колебаний прямоугольной мембраны с помощью обратной связи
§4. Оператор Лапласа-Бельтрами на сфере
Список литературы

1°. Спектральные задачи для линейных операторов давно привлекают внимание исследователей. Особый интерес представляет задача управления дискретным спектром дифференциальных операторов. Дискретный спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и описывает важные характеристики физических и химических объектов (квадраты частот собственных колебаний механических систем, энергетические уровни квантовых объектов и т.п.) Явления резонанса, энергетические сдвиги излучения и ряд других нежелательных явлений могут быть устранены путём введения блоков обратной связи, позволяющих изменить в заданном направлении спектральные характеристики операторов, описывающих динамику и статику изучаемых объектов.
2°. Рассматриваемая в диссертации задача управления дискретным спектром касается изменения конечного числа точек дискретного спектра с помощью конечномерного возмущения, однако, преследует три важные цели, определяющие новизну исследования: исследуется роль возмущений минимально возможного ранга, поведение их норм при удалении п собственных значений при п —> оо, а также получение оценок погрешности, допустимой при приближённом построении возмущений.
Общий характер влияния на спектр конечномерных возмущений достаточно хорошо изучен в работах А. Вайнштейна и Н. Ароншайна [18, с. 307-310], Ю.Н. Андреева [1, 2], А.Г. Бутковского [6, 7], Е.Я. Смирнова [39] и ряд других авторов [8, 43, 45, 47, 49, 53]. В работах Г.Г. Исламова [12]-[15] впервые поставлена задача изучения возмущений минимальГлава I. Одноранговые возмущения

у, 2тт-1/2 _ 2тт+1/2 ' 2-і етт етт
г~
Для замены факториала воспользуемся формулой Стирлинга ml & j2iтт ()т Таким образом, получили
2тт+1/2 [2 , х
lim — = (44)
ГП-УОО етт ТТ
Данный результат важен по той причине, что, выбрав определённым образом норму для функций из области определения оператора Т, значение оценки нормы однорангового возмущения К при неограниченном увеличении количества выводимых из спектра собственных значений не стремиться к бесконечности.
3°. Необходимо отметить, что собственное значение оператора Т не обязано быть изолированной точкой конечной кратности. Рассмотрим ситуацию, когда множество удаляемых собственных значений группируется вокруг некоторой предельной точки к существенного спектра оператора Т.
В качестве примера возьмём А&; = к + ^ и оценим величину знаменателя
mm, m
П |ІЛ*ІІ - І-ЧІІ! т-е- П If - pi Запишем П I? - jH в виде произj=l,i^j 3=1,іфз 3=1,іфз
ведения
П(Н) П (?-?)=П(гї)п6+ї) П (Ь):х
j=1 47 7 j=i+1 4 77 j=1 47 7 3=1 47 7 j=i+1 v
ГТ (l
x П (j + j
j=i+1 4
Вычислим каждый из сомножителей