Квазипериодические решения систем дифференциальных уравнений в некоторых критических случаях

• Автор: Перегудин, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Глава 1. Двухчастотные колебания в автономной дифференциальной системе с двумя парами чисто мнимых собственных чисел ^ матрицы линейного приближения 1 б
1.1. Построение первых интегралов
1.2. Приведение системы первых интегралов к нормальной форме.
Вещественные решения
1.3. Построение двухчастотных решений
1.4. Устойчивость двухчастотных решений
Глава 2. Периодические решения автономной дифференциальной
системы с заданным первым интегралом
2.1. Построение дифференциальной системы по заданному
первому интегралу
. 2.2. Преобразование дифференциальной системы и её первого
интеграла к специальному виду
2.3. Построение периодических решений периода, зависящего от
начальных условий
2.4. Устойчивость периодических решений
Глава 3. Многочастотные колебания в дифференциальной системе,
близкой к автономной с заданным первым интегралом
3.1. Преобразование дифференциальной системы к специальному
виду
3.2. Построение многочастотных решений в резонансном случае
3.3. Устойчивость решений
Заключение
Список использованных источников
'<0»

Актуальность проблемы. Широкий класс механических, физических, экономических, биологических и других систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Кроме того, критический случай может иметь место в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, восстановленной по первому интегралу. Поведение решений таких систем во многом определяется их стационарными решениями — положениями равновесия, периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и другими. Поэтому актуальна задача отыскания достаточных условий существования стационарных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, построения этих решений и исследования их на устойчивость (задача Л). Эта задача еще не получила законченного решения для частных случаев таких систем относительно конкретных классов стационарных решений.
В диссертации задача Л решается относительно
— квазипериодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в II.4 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами;
— периодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в К3, восстановленной по определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней;
— резонансного квазипериодического решения возмущенной квазиперио-дической системы дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы из предыдущего пункта.
Цель работы. 1. В й4 в окрестности Б = {|аг/| < Я, Я > 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений
2^-1 — —Ш8Х2з + — Р25-1(ж)) -|
Х2в = Ш8Х2з-1 + Ръ{х) = Р2я{х), 5=1,2
в критическом случае двух пар чисто мнимых корней ±шд, ±ш2. Предпо-

лагается, что:
$Рп
1) рп 6 С'°°(£)); следовательно, в окрестности В рп < М, < Ь (М, Ь

— некоторые положительные постоянные) и функции рп(х) представимы абсолютно и равномерно сходящимися степенными рядами
Рп{х) = р{2]{х) + • • ■ + Р/п)(аг) + ..., гг = Т~4,
где Рк(х) — однородные многочлены степени к > 2 относительно координат вектора х. По теореме Коши существует единственное решение х = х(1,х°), х(0, х°) = х°, х° € В, причем ||а:0|| = рг > 0, где р — малый параметр.
2) Базисные частоты од, ш2 вектора и = (1x1,1x2) рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости
|{ш, ш)| > А\т\~а (0.2)
для любого ненулевого целочисленного вектора тп и некоторых постоянных А > 0, а > 2; здесь (тп, ш) = + т2ш2, ||т|| = |т1| + |т2|.
3) В окрестности .О существуют два аналитических первых интеграла системы (0.1) й5(х) = С3, в = 1, 2, которые по доказанному имеют вид
7ц(х) = х + х% + 1гз]{х) + ... + Ц1](х) + ... = Си - .
Н2{х) = х + х + Лз2) (х) + . . . + йР (х) + . . . = С2,
где х) — однородные многочлены степени I > 3 относительно координат вектора х, причем Лз^(0,0, хз,х^) = Н^х1,Х2,0,0) = 0; Ся — некоторые постоянные, 5 = 1,2. Следовательно, положение равновесия х = 0 системы (0.1) устойчиво но Ляпунову.
Примером системы (0.1) является гамильтонова система
дН . дЩ . дН2
О > *^2 д > ®3 О 5 ^4 г
ОХ 2 иХ 1 ОХ 4 иХ%
имеющая первые интегралы Не(х) = С8, где функции Н3{х) являются степенными рядами
Д'.(х) = ^(х? + х?) + Е Я(х), Я„(х) = ^(х!+х5) + Е яр(х).
* п=3 1 п
абсолютно и равномерно сходящимися в области В. В частности, функции Н8(х) являются многочленами степени р (р> 3)
Я1(х) = !£(х? + х!)+ Е Я“(х), яг(х) = ^ (х§ + х|) + Е яР(х).
* п=3 1 п

Ри = 7 [-(1 + 24)4(4)24о20 + (1 - 2и)и{и1)2ВЪы
-(1 + 24)4(4)2А^02 + (1 - 2и°1)и°1(и%)2В$02

"21

/4-2 = 7 {—(1 + 24)4(4)2Л}о,-20 + (1 - 2и?К(и2)2£11£_20] ,
4-2 = 7 [-(1 + 24)4(4)242о -2 + (1 ~ 24)4(4)2Дз10,-г1 >
-(1 + 24)(4)244то + (1 - 24)(4)24В22ощ
-(1 + 2и°2){и01)2и°2АЪ1т + (1 - 2и°1){и01)2и°2В$01
4,-1 = 7 [-(1 + 24)(4)244о _ю + (1 - 2и?)(и?)2и§В|^_

..и
7 [-(1 + 2и%){иЧ)2и°2А2010 _! + (1 - 2г1?)(4)2и^^0 _х] ;

4 о 48 = 7
4о = 7

(1 - 24) (Ю34ооо + 4(4)24ооо) - (1 + 24)4(4)25!ооо. (1 — 2ы2) ((и?)34?00 + 4(4)2-410о) — (1 + 24)4(и2)2-®0100,
(1 — 24)(4)24Л2110 — (1 + 2и2) ((4)24г-®оою + (4)3^оою)
(1 — 2и2)(4)24^ооо1 — (1 + 24) {(4)244юо1 + (4)3^ооо1).
(1 - 2и2)(4)34ооо] >
(1 — 2и2)(4)34зоо| )
-(1 — 24)(и2)35оозо —(1 — 24)(4)3-®оооз.
(1 - 24)4(4)2Л}§20 - (1 + 2и?)4(4)2Б}022о.
(1 — 24)4(4)24>102 _ (1 + 24)4(4)2Дпо2.
4,-2 = 7 [(1 ~ 2и2)4(4)2^1о,—20 ~ (1 + 24)4(4)25]о2,-20 4,-2 = 7 1(1 - 24)4(4) 410,-2 - (1 + 2«?)и?(«§)2Д}?0,-2*
41 = 7 [(1 - 24)(4)244ою - (1 + 2«?)(«?)МД201о'
41 = 7 (1 - 24)(4)24^01 - (1 + 24)(4)245о2о1.
4)-1 = 7 [(1 - 24)(4)244о,-ю - (! + 24)(4)24-в21о,-1о
4,-1 = 7 [(1 2и2)(4)2и2^020,-1 ~ (1 + 24)(4)24Д0220,

здесь
4г = 7
2(4 + 4) ’
Очевидно,

2& + („0)3 (
.0„(з)
КР2 ~ Р
(а)
] (4)2- - (4)3
После подстановки (1.42) в (1.13) получим систему
0, = <4. + цф3(6, ц) = ш3 + [х^2 Фпв)рп, В = 1,2,

где, в частности,
фо8)(4 - ^ {(4)2ф2о(4 + 44ф(п}(4 + (4)2^4)},
(1.83)
(1.84)