Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе

• Автор: Кудрявцева, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 200 с.

Рассмотрим гамильтонову систему, в фазовом пространстве которой имеется замкнутое подмногообразие Л, сплошь заполненное замкнутыми траекториями. Изучается вопрос: сколько и какие из этих траекторий сохранятся, лишь слегка продеформировавшись, при малом возмущении системы, и будут ли сохранившиеся периодические решения устойчивыми? Одним из основных результатов работы является эффективная оценка числа сохранившихся замкнутых траекторий в терминах топологии подмногообразия Л. А именно, доказано, что при выполнении естественного условия невырожденности А число таких траекторий не меньше минимального числа критических точек гладкой функции на фактор-многообразии ВЛ/51.
Аналогичные оценки получены в некоторых более общих ситуациях. Например, в случае, когда изоэнергетическая поверхность является особой и её подмножество, заполненное периодическими траекториями, содержит положения равновесия системы, а также в случае произвольных, вообще говоря не гамильтоновых, динамических систем.
В качестве приложения исследуется планетно-спутниковая система, являющаяся частным случаем плоской задачи N + 1 тел. Предполагается, что масса одного тела — Солнца — много больше масс остальных тел — планет и спутников, а масса каждой планеты много больше суммы масс её спутников. Кроме того, расстояния между каждой планетой и её спутниками много меньше расстояния от Солнца до этой планеты. Доказывается, что при естественном соотношении между малыми параметрами задачи существует большое число периодических движений планетно-спутниковой системы во вращающейся системе координат.

Содержание
Сохранение замкнутых траекторий гамильтоновых систем при возмущениях
1.1 Оценка числа замкнутых траекторий
1.2 Метод усреднения на подмногообразии
1.3 Устойчивость замкнутых траекторий
1.4 Неподвижные точки симплектических отображений
1.5 Доказательства теорем о неподвижных точках
1.6 Доказательство теорем о замкнутых траекториях
1.7 Некоторые частные случаи
Некоторые обобщения и дополнения
2.1 Роль постоянства значений энергии, функции периода и сим-
плектической структуры
2.2 Положения равновесия
2.3 Негамильтонов случай
Относительно периодические движения планетно-спутниковой системы
3.1 Формулировки теорем
3.2 Вспомогательные утверждения
3.3 План доказательства
3.4 Доказательство вспомогательных утверждений
3.5 Обобщения. Двойные планеты

Введение
Данная диссертационная работа посвящена исследованию периодических траекторий автономных гамильтоновых систем и связанным с этим вопросам.
Гамильтоновой системой называется динамическая система насимплек-тическом многообразии, отвечающая векторному полю, заданному некоторой гладкой функцией Я, которую называют гамильтонианом системы. В некоторой локальной системе координат (р, = (р»1
эта динамическая система задаётся гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. системой вида
дН, , . дн
Р = --(М), ?=зу(м)- (1)
Мы будем предполагать, что функция Я не зависит от времени Ц т.е.
система является автономной.
Напомним, что симплектическое многообразие — это гладкое многообразие М, снабженное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой и;2, называемой симплектической структурой. Каноническими координатами на М называются локальные координаты (р, д), в которых сим-плектическая структура имеет вид а>2 = с1р А йд — Ф* Л с%. Известно, что канонические координаты существуют в окрестности любой точки симплектического многообразия М; уравнения (1) определяют одну и ту же гамильтонову систему независимо от выбора канонических координат.
Рассматривается следующая ситуация. Имеется гамильтонова система, называемая далее невозмущённой, фазовое пространство которой содержит гладкое подмногообразие Л С Я“1 (Л), сплошь заполненное замкнутыми траекториями системы. При малом возмущении гамильтониана Я, а тем самым и гамильтоновой системы, подмногообразие замкнутых траекторий распадается, но некоторые из замкнутых траекторий выживают. Целью диссертации является выяснение — какие, сколько, где появляются эти выжившие траектории, какие из них бывают устойчивы? Более точно, нужно оценить число этих траекторий, выяснить их расположение, найти условия устойчивости этих траекторий и выяснить другие вопросы, которые обычно представляют интерес для приложений.
Описанная ситуация часто встречается в приложениях, в частности, в задачах о механических колебаниях, задачах о движении заряженных частиц, а также в задаче о планетно-спутниковой системе, которая исследована в данной диссертации. В данной работе доказана эффективная оценка для числа периодических движений планетно-спутниковой системы во вращающейся системе координат, приведены условия устойчивости в

что близким гамильтонианам Н отвечают гомотопные 2-циклы [С] в М2п. Следовательно, доказываемое свойство гомологичности отображений Пуанкаре достаточно доказать для одной и той же гамильтоновой системы (взяв Н в качестве Н). Но любое отображение гомологично самому себе. Это завершает доказательство леммы 3.
Замечание 7. Пусть, в условиях теоремы 1, расслоение подмногообразия Л на замкнутые траектории невозмущённой системы тривиально. Это эквивалентно существованию глобального сечения Пуанкаре а С Л-1(й), трансверсально пересекающего каждую траекторию на Л, причём ровно в одной точке. Тогда утверждение теоремы 1 о числе замкнутых траекторий возмущённой гамильтоновой системы сразу следует из теоремы 4, с учётом леммы 3.
Следствие 7. Пусть А : о —> о, А : Ь —> Ъ — отображения Пуанкаре, отвечающие Сг-близким, гамильтонианам Н и Н соответственно, г > 1. Тогда симплектические отображения Ао = А и А% = р~1 о А о (р можно соединить путём Аи : а —» а, 0 < и < 1, в пространстве Сг~1-близких и гомологичных друг другу симплектических отображений. Другими словам/и, существует гладкое семейство функций на а, 0 < и < 1, такое, что отображение А{ получается из отображения А0 = А в результате движения за время 1 в силу неавтономной гамильтоновой системы с гамильтонианом Тф и временем и, 0 < и < 1.
Доказательство. Для построения отображения Аи рассмотрим отображение Пуанкаре, отвечающее гамильтоновой системе с гамильтонианом Ни — (1 — и)Н + иН, 0 < и < 1. Это отображение действует в поверхности сти = Е П НД{Ь). Однако эту поверхность можно отождествить с поверхностью а при помощи естественного симплектического диффеоморфизма ри : о —> аи, аналогичного диффеоморфизму <д, в результате чего мы получим искомое отображение Аи : <т —» и, 0 < и < 1. Согласно лемме 3, отображения полученного семейства гомологичны. С учётом замечания 5, это доказывает следствие 7.
Отсюда получаем, что любое семейство гомологичных отображений Аи, О < и < 1, однозначно задаётся отображением Ао = А и производящей функцией Ф(т,и) этого семейства (см. определение 11), которая в указанных предположениях будет С'г_1-мала.
1.4.3 Локализация неподвижных точек
Сформулируем метод, аналогичный методу усреднения на подмногообразии, позволяющий более точно находить расположение неподвижных точек,