Метод характеристик в теории уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в теории управления

• Автор: Субботина, Нина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 264 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби

§ 1. Уравнения Гамильтона-Якоби. Основные понятия

1.1. Классическое решение задачи Коши и классический метод характеристик Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

1.2. Вязкостное решение уравнения Гамильтона-Якоби

§ 2. Обобщение и релаксация классического метода характеристик

для уравнения Гамильтона-Якоби

2.1. Обобщенные характеристики и непрерывное минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби
2.2. Теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби
2.3. Дифференцируемость по направлению, суб- и еупер-диф-ференциалы негладких функций
2.4. Свойства инвариантности множеств относительно дифференциальных включений
2.5. Эквивалентные определения минимаксного решения
ГЛАВА II. Классический и обобщенный методы характеристик в
задачах оптимального управления
§ 3. Постановка задачи оптимального управления
3.1. Программная задача оптимального управления
3.2. Основные предположения

3.3. Обобщенные программные управления
§ 4. Функция цены в задаче оптимального управления
4.1. Принцип оптимальности
4.2. Репрезентативная формула функции цены в задаче оптимального управления
4.3. Свойства гладкости функции цены
§ 5. Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона-
Якоби-Беллмана
5.1. Предварительные сведения
5.2. Обобщенное уравнение Веллмана и его минимаксное решение
§ 6. Принцип максимума Понтрягина и классические характеристики Коши для уравнения Веллмана
6.1. Случай дифференцируемых входных данных
6.2. Предварительные конструкции
6.3. Необходимые условия оптимальности
6.4. Связь принципа максимума Понтрягина с методом характеристик Коши для уравнения Веллмана
§ 7. Необходимые и достаточные условия оптимальности
7.1. Принцип максимума Понтрягина и супердифференциал функции цены
7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности в случае невыпуклой вектограммы и обобщенных управлений.
7.3. Репрезентативная формула минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик Коши
§ 8. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления
8.1. Формализации позиционной задачи управления

8.2. Классический метод динамического программирования и непрерывный оптимальный синтез
8.3. Необходимые и достаточные условия оптимальности разрывного синтеза
ГЛАВА III. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби
§9. Сингулярно возмущенные уравнения Гамильтона-Якоби
9.1. Постановка задачи Коши РЕ для сингулярно возмущенного уравнения Гамильтона-Якоби
9.2 Минимаксное решение в задаче Ре
§ 10. Формулировка и обсуждение основного результата
10.1. Достаточные условия сходимости
10.2. Комментарии
§ 11. Доказательство основного результата
11.1. Вспомогательные сведения
11.2. Доказательство теоремы III.
§ 12. Пример
ГЛАВА IV. Приложения обобщенного метода характеристик для дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями.
§ 13. Позиционная игровая задача управления G£
§ 14. Предварительные сведения
14.1. Функция цены дифференциальной игры Ge
14.2. Характеристические комплексы в задаче Коши Р£
§ 15. Основные предположения и формулировка результата
§ 16. Достаточные условия сходимости функций цены сингулярно возмущенных игр
2°а. Для любых (£, х) £ [О, Т] х Яп и р 6 справедливы равенства:
, К/.р) - 9] = Н(г,х,р),
*е5 (/>й)€М(*,х,з)
2°Ь. Справедливо соотношение
>,( “5* , К/.Р> “ 9] = Н&Х>Р)>
465 (/.5)еМ(г,х,8)
Совокупность комплексов (ДМ) обозначим символом С(Н).
Замечание 1.1. Заметим, что указанным условиям удовлетворяет, например, пара (ДМ), где 5 = Кп, и при всех 5 £ Яп, (4, х) 6 с1 Пг:
М(£,х, в) = {(/,^) £ й" х й : ||/|| < Л (а:), д = (/, б) - #(*, а;, 5)}. Здесь А(х) = (1 + ||х||)д — величина из условия Липшица (1.10.)
Выберем произвольно комплекс (3, М) £ С(дЗ) и я £ 3. Символом Бо1 (Д, хо, го, 5) обозначим множество абсолютно непрерывных функций:
(х(-),г(.)): [0,Т]нй“хй,
удовлетворяющих условию (т(<о),г(ф)) = (хо, го) и дифференциальному включению
(х(г),г(г)) £ М(е,х(*),г(^,з), 1 £ [*0)Т]. (2.2)
Определение 1.3. Минимаксным решением уравнения (1.1) называется непрерывная функция [О, Т] х й" Э (£,#) Н- У(Ь,х) £ Л, удовлетворяющая следующему условию:
• для любых (ф, хо, го) £ §г и, я £ Б и т £ [<о, Т] существует траектория
(х(-),г(-)) £ Эо1 (<о,*о,2о,в), такая, что (т, х(т), г(т)) £ §г V'.
Дифференциальное включение (2.4) называется характеристическим, а его решения называются обобщенными характеристиками Коши.