Задачи Франкля для уравнений смешанного типа

• Автор: Псху, Арсен Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 52 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Задача Франкля для модельных уравнений смешанного типа
§1 Задача Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
§2 Решение задачи Франкля для модельного гиперболо-параболи-
ческого уравнения
п.1 Постановка задачи и формулировка результатов
п.2 Предварительные замечания
п.З Доказательство теоремы
п.4 Замечание
Глава 2 Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения
§1 Постановка задачи
§2 Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения
§3 Доказательство для волнового уравнения
§4 Вспомогательные утверждения
§5 Вспомогательная задача
§6 Построение одного оператора
§7 Доказательство теоремы
Литература

Введение
В 1956 Ф.И. Франкль в работе [31], рассматривая обтекание конечного симметричного профиля потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, поставил задачу нового типа для уравнения Чаплыгина
к{у)ихх + Иуу — 0, (0.1)
где ук(у) > 0 при уф 0.
Пусть D - односвязная область, ограниченная отрезком АА1 оси х
0, дугой А'С характеристики уравнения (0.1), отрезком СВ оси у = 0 и кривой сг, с концами в точках А и В, целиком лежащей в полуплоскости у 0 (рис. 0.1). А — А(0, а),А'
А'(0,-а), В = В(Ь, 0), С = С (с, 0),
6 a; D - заГыкание области D. Рис
Задача Франкля. Найти регулярное решение уравнения (0.1) при уф 0 и х ф -у, непрерывное в D, удовлетворяющее условиям:
«|а = Ч>> И*|АА> = °>
и(0,у) - и(0,-у) = /(у), где f(y) - заданная нечетная функция.

Впервые эта задача была решена А.В.Бицадзе. В работе [1] было доказано существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
и«* + sign У Uyy — 0. (0.2)
При этом, при доказательстве единственности решения предполагалось, что кривая о, кроме условия гладкости, удовлетворяет условию
4 г о, (о.з)
где a;(s), y{s) - параметрические уравнения кривой a, s длина дуги, отсчитываемая от точки В. В работе [2] была доказана единственность решения
для уравнения (0.1), когда к(0) = 0, к'(у) > 0, к(у) = —к(—у), также при выполнении условия (0.3).
Ю.В. Девингталь в работе [6] доказал единственность решения для системы
Г k(y)ux — vy =0,
1 + vy = 0,
где ук(у) > 0, при у ф 0, к(у) € С1 и к(у) — -к(-у). Относительно кривой а предполагалось, что а - гладкая кривая, в окрестности точки А выполнено условие (0.3) и угол 9, между положительным направлением оси у — 0 и касательной, направленной в сторону возрастания дуги при обходе а подчинен условию 0 < в п. В работе [7], для уравнения
signj/lj/IUsa; + иуу = 0, т > 0, (0.4)
доказано существование решения задачи Франкля, когда x(s), y(s) е С2, и в окрестности точки В на кривой а выполнено условие dx/ds < cxym(s), сг = const. В работе [8] для уравнения (0.4) доказано существование решения, когда о в окрестности точки С заканчивается сколь угодно малой дугой нормальной кривой.
удовлетворяет граничным условиям:
и(0,0) = и(1,0) = 0,
(2.11)
их(0, -і) = О,
(2.12)
Ки(х,0)(і) - и(0, -1) = f{t),
(2.13)
иу(і, 0) = ихх (і, 0) + д(і)их(і, 0) + є(і)и(і, 0),
(2.14)
где (/(£), е(і), /(1) - заданные непрерывные функции, а К : С[0, 1] —> С[0, 1] - непрерывный линейный оператор, 0 < і < 1.
Теорема 2.2 Пусть а,Ь,сЄ Сфх) П С1ф2), й, є Є ([О, 1], / Є С[0, 1] П С2{0, 1), /(0) = 0, є(і) < 0, выполнено условие (2.5) и оператор К обладает следующими свойствами: Кір(х)(0) — <р(0), и если уз є С[0, 1] П С”(0, 1), то
уравнения (2.10).
§3 Доказательство для волнового уравнения
Сначала рассмотрим случай, когда а = Ь = с = 0 и й = е = 0.
Пусть и(х,у) - искомое решение задачи Ф*. Примем следующие обозначения: т(£) = и(Ь, 0), п(£) = %(£, 0), (£>(£) = и(0, —£), Ь £ [0, 1].
В области О] решение и(х, у) представим в виде
КёС[0, 1]пС(0, 1), г =1,2, и
(2.15)
Тогда существует единственное решение задачи Ф* (2.11)-(2.14) для

А в области 02) с учетом условия (2.12), в виде