О задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр

• Автор: Гуляев, Денис Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Вопросы полноты, минимальности и базис-ности в пространствах Ьр и УУ

§1 Постановка задачи. Базисность в Ьр

§2 О сходимости спектральных разложений в пространстве РГ

Глава 2. Вопросы равномерной сходимости спектральных разложений

§1 О равномерной сходимости спектральных разло-

жений для выделенной, полной и минимальной подсистемы

§2 О равномерной сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций

§3 Примеры краевых задач для параболического и

параболо-гиперболического уравнений, приводящих к рассматриваемой спектральной задаче
Литература

Введение
Задачи со спектральным параметром в граничных условиях возникают в ряде математических моделей для уравнений параболического, гиперболического и смешанного типов. Еще С.Д. Пуассон в своем мемуаре [191] решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к концу упругой нити. А. Кнезер в работе [190] изучал колебания однородной струны, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н. Крылов [108] и С.П. Тимошенко [173] указывали на актуальность задачи о продольных колебаниях стержня в связи с теорией индикатора паровой машины и прочих измерительных приборов. К этой задаче сводится изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих"клапанов и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Задача подобного плана приобрела особую актуальность еще и в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями, самоиндукциями и задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями,

которые рассматривались A.A. Самарским [169], A.A. Виттом и С.П. Шубиным [35,36]. Недавно интерес к задачам со спектральным параметром в граничном условии возник в связи с теорией осреднения [38].
В основе спектрального метода решения ряда задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа лежат задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа положили в конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И. Моисеева [124], С.М. Пономарева [145,146], Т.Ш. Кальменова [65]. Им предшествовали глубокие исследования Ф. Трикоми [176,193], С. Гел-лерстедта [188], М.А. Лаврентьева [111], Ф.И. Франкля [179], И.Н. Векуа [34], A.B. Бицадзе [30,31], Л.В. Овсянникова [143] и других математиков по вопросам классической разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа, причем, как правило, задача сводилась к сингулярному интегральному уравнению на линии изменения типа. В этих работах указывалось на актуальность проводимых исследований по теории эллиптико-гиперболических уравнений, а позднее в работах Я.С. Уфлянда [178], А.Г. Шашкова [184], А.М. Нахушева [137-139], X. Азиза и Э. Сеттари [1] было обращено внимание на математические модели, приводящие к параболо-гиперболическим уравнениям.
Задачи со спектральным параметром в граничных условиях, как правило, несамосопряженные. Большой вклад в науку был

1 flmd(jJ2^ + sinv~xnt
VXn Jo у VA
6 sin ч/Лп + л/п cos y/Xn VXq b sin -y/X0 + /Ao cos /% V%

( bsm^ot + cos y/xQt f{t)dt =
'о у V% /
”1 bcos/Xnt
Vx0 Jo л/Агі
+ sin Vnt f'(t)dt+
1 г/с / b cosVAn . аг ^ /(0)

1 6 sin л/Ап + /Ân cos v^x /An 6 sin a/Âq + a/Xq COS VAq
/(0)6 6 sin v%i + VÄn COS/Än
Jq1 ^6 sin л/Äot + л/Ао cos VXotj f(t)dt d(b sin л/Äo + л/Âo cos /Ao)